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解決済みの質問

積分範囲は[0,t]、微小区間はdτの計算

添付画像の(4)の一行目から二行目にする計算方法を教えて下さい。

第二項を展開しました
∮[0,t]
[-(4/3)*e^(-2t) + (4/3)*e^(2τ) + (4/3)*e^(-5t) + (4/3)*e^(5τ)]
[-(4/3)*e^(-2t) + (4/3)*e^(2τ) + (7/3)*e^(-5t) + (7/3)*e^(5τ)]


τで積分するならtの項は全部消えるはずよね???
…すみません、積分はいつも機械的に解いてて、正直、意味分かっていません。(分かった積もり)
今回勉強しますので教えて下さい。
お願いします。

投稿日時 - 2019-05-27 14:40:17

QNo.9620591

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

原始関数も記載しましたが、どのように分からないのでしょうか?
∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ .... (独立変数はτであり, tは定数扱い)
=[-(2/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/15)*e^(-5(t-τ))].....(原始関数の1つ...F(τ))
=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}...(F(t) - F(0)の計算)
=-2/5 + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)...(整理)
---------------------
※ (d/dτ)F(τ)=f(τ) として定積分、
∫[0~t]f(τ)dτ = [F(τ)] = F(t) - F(0). を計算しているだけです。

投稿日時 - 2019-05-28 07:25:10

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
お陰様で行間を埋められました:

∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ
=∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2t+2τ) + (4/3)*e^(-5t+5τ)】dτ
=[(1/2)*{-(4/3)*e^(-2t+2τ)} + (1/5)*{(4/3)*e^(-5t+5τ)}]
=[-(2/3)*e^(-2t+2τ) + (4/15)*e^(-5t+5τ)][0,t]

={-(2/3)*e^(-2t+2(t)) + (4/15)*e^(-5t+5(t))} - {-(2/3)*e^(-2t+2(0)) + (4/15)*e^(-5t+5(0))}
={-(2/3)*e^(0) + (4/15)*e^(0)} - {-(2/3)*e^(-2t) + (4/15)*e^(-5t)}
={-(2/3)*1 + (4/15)*1} - {-(2/3)*e^(-2t) + (4/15)*e^(-5t)}
=(-2/3) + (4/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-2/3) + (2/3)*e^(-2t) + (4/15) - (4/15)*e^(-5t)

=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}
=(-2/3) - (-2/3)*e^(-2t) + (4/15) - (4/15)*e^(-5t)
=(-10/15) + (4/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-6/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-2/5) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)

F(t) - F(0)の計算の部分は普通の積分と同じなんですね。
コメントを付けて下さったのでようやく理解できました。
次に似たような問題が出ても理解できると思います。
ありがとうございました!

投稿日時 - 2019-05-29 09:54:05

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回答(2)

ANo.1

1つだけ計算します。難儀なところはありません。
∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ
=[-(2/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/15)*e^(-5(t-τ))]
=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}
=-2/5 + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t).
もう1つの積分も同様です。

投稿日時 - 2019-05-27 15:03:14

お礼

ご回答ありがとうございます。

以下のところで難儀しています(苦笑):

∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ
=∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2t+2τ) + (4/3)*e^(-5t+5τ)】dτ
=[(1/2)*{-(4/3)*e^(-2t+2τ)} + (1/5){(4/3)*e^(-5t+5τ)}]
=[-(2/3)*e^(-2t+2τ) + (4/15)*e^(-5t+5τ))]

※この間が不明です
おそらく、e^0=1が出てくると思うのですが、上の式からは想像もつきません・・・

=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}
=(-2/3) - (-2/3)*e^(-2t) + (4/15) - (4/15)*e^(-5t)
=(-10/15) + (4/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-6/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-2/5) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)

どうか行間を埋めて下さい。
お願いします。

投稿日時 - 2019-05-27 16:47:49