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解決済みの質問

√nが直線定規とコンパスで作図できる理由

無理数でも作図できるのでしょうか。

投稿日時 - 2019-05-26 19:11:06

QNo.9620322

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

>コンパスで半径0.5(単位)の円を描いた場合、円周はπに
>なりますが、これはπの作図ではないのでしょうね。

何せ「数学」の世界ですからね作図で求められる「数」には
厳密な定義がありまして、「平面上の任意の2点間の直線距離」
として現されるものしか認められないんです。

円周率は「円を半径方向に無限に切り刻み、互い違い並べて
できる長辺方向の長さ」ですから、前の示した定義にある
「定規とコンパスを有限回用いて」に反しますね。まあ、
この件も「円積問題」として、ピタゴラスの昔から検討されて
いた問題ではありますが・・・。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E7%A9%8D%E5%95%8F%E9%A1%8C

投稿日時 - 2019-05-27 16:30:37

お礼

勉強してみます。

投稿日時 - 2019-06-01 09:53:52

ANo.7

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回答(12)

ANo.12

できないりゆうがないよ

投稿日時 - 2019-05-29 12:14:45

お礼

√n以外の無理数はどうでしょうか。

投稿日時 - 2019-05-29 13:59:16

ANo.11

>我ながら単純すぎますが、コンパスで半径0.5(単位)の円を描いた場合、
>円周はπになりますが、”これはπの作図ではないのでしょうね。”
πの作図ではないと自分で認めているではありませんか。
これは貴方の発言ですよ。

投稿日時 - 2019-05-28 14:46:20

お礼

確認したかっただけです。どこかはなしがずれておりますので、ご放念ください。

投稿日時 - 2019-05-28 16:10:32

ANo.10

添付図に於いて、AB=1、BB2=1とした時、と言う仮定しているではありませんか?
証明されたわけでもない仮定の話の上に作図は成り立っています。
ですから、作図は元々数学ではないのです。

投稿日時 - 2019-05-28 09:13:44

お礼

おっしゃっている意味が分かりませんが、特に作図は数学ではないというのは本当でしょうか。

投稿日時 - 2019-05-28 13:23:52

ANo.9

>それは前提で証明するしないの問題ではないと思いますが。
>円周はに2πrであることは認められているのでは。
いいえ、前提で証明しなければ、数学とは言えません。
証明できないので、作図は数学ではありません。
数学では円周は2πrです。
スレ主が作図は数学であると思い込んでいることが、基本的な勘違いを引き起こしている原因と思われます。

投稿日時 - 2019-05-28 08:45:09

お礼

そうですか。

投稿日時 - 2019-05-28 13:24:59

ANo.8

>コンパスで半径0.5(単位)の円を描いた場合、円周はπに
>なりますが、これはπの作図ではないのでしょうね。
貴方が作図した半径0.5が本当に0.5であることを証明しなけれなならない。
できますか?

投稿日時 - 2019-05-27 20:16:06

お礼

それは前提で証明するしないの問題ではないと思いますが。円周はに2πrであることは認められているのでは。

投稿日時 - 2019-05-27 23:04:02

ANo.6

>√nが直線定規とコンパスで作図できる
√nを直線定規とコンパスで作図できます。
√6まで作図した例を貼り付けましたので、参考にして√7以降を
作図してください。
<<√7の場合>>
底辺を√6とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√7になります。
<<√8の場合>>
底辺を√7とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√8になります。
<<√10の場合>>
底辺を3とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√10になります。
<<√11の場合>>
底辺を√10とし、垂線を1とした三角形を描きます。
斜線が√11になります。

投稿日時 - 2019-05-27 11:34:00

お礼

√n以外の無理数は作図できないのでしょうか。

投稿日時 - 2019-05-27 13:39:01

ANo.5

一部 補足。

 線分 AC を描く。(AB の延長線上に |AB| の r 倍の点 C をとる)
   ↓
 AC の中点 O を求める。
   ↓
 O を中点とし、A, C を通る円を描く。
   ↓
 AB の延長線上に |AB| =||BE| なる点 E をとる。
   ↓
 AE の中点 B を通り AE への垂線を引き、それと円 O との交点 D を求める。
  

投稿日時 - 2019-05-27 11:23:28

ANo.4

>…難しそうですが…

シナリオだけでも…。

 線分 AC を描く。(AB の延長線上に |AB| の r 倍の点 C をとる)
   ↓
 AC の中点 O を求める。
   ↓
 O を中点とし、A, C を通る円を描く。
   ↓
 AB の延長線上に |AB| の点 E をとる。
   ↓
 AE の中点 B を通り AE への垂線を引き、それと円 O との交点 D を求める。

( |BD| = √r だという)
  

投稿日時 - 2019-05-27 11:17:26

ANo.3

定規とコンパスで作図できる「数」については、数論の一つの
ジャンル(思考実験)として存在しており、「作図できている
点を元にして描いた円や直線の交点として新しい点を求めると
いう操作はこれら高々二次の方程式を連立させてその解を求める
という問題に帰着される。」とされています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3

ということで、「二次方程式の解として存在する無理数は作図で
求めることができる」という事になりますね。

逆に言えば「二次方程式の解ではない」円周率(π)や自然対数の底
(e)は、作図では求めることができない、ということになります。

投稿日時 - 2019-05-27 09:09:00

お礼

我ながら単純すぎますが、コンパスで半径0.5(単位)の円を描いた場合、円周はπになりますが、これはπの作図ではないのでしょうね。

投稿日時 - 2019-05-27 13:37:32

ANo.2

>作図できない無理数も多くあるのでしょうか。

「有名な構図を用いる方法」を利用すればできそうです。

…試してみて。
  

投稿日時 - 2019-05-27 08:05:16

お礼

ちょっと私には難しそうですが、いろいろやってみます。

投稿日時 - 2019-05-27 09:09:10

ANo.1

 ↓ 参照 URL / 平方根の長さを作図する2通りの方法
… など。
  

参考URL:https://mathtrain.jp/sqrtsakuzu

投稿日時 - 2019-05-26 19:42:06

お礼

作図できない無理数も多くあるのでしょうか。コンパスで円を描いても円の作図ではないのですね。

投稿日時 - 2019-05-27 02:54:12

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