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解決済みの質問

組み合わせの問題です

大きさの異なる4枚のカードがある。これらのカードに赤、青、黄、緑の色を塗る。ただしどのカードも1つの色を使い、同じ色のカードが2枚以上あってもよいとする。
すべての組み合わせは4の4乗で256通り
4色使う組み合わせは4の階乗で24通り
1色使う組み合わせは4通り
では2色と、3色の組み合わせはそれぞれ何通りになりますか。

投稿日時 - 2019-05-22 21:17:21

QNo.9619077

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

・2色の場合
4色の中から2色を選ぶ選び方は、4C2=6通り
4枚のカードを2色で塗る塗り方は、「1枚と3枚」「2枚ずつ」の2通り
「1枚と3枚」の場合、1枚に塗る色の選び方は、2C1=2通り
4枚のうち、この1枚の選び方は、4C1=4通り
よって、この場合には、6×2×4=48通り
「2枚ずつ」の場合、一方の色を塗る2枚の選び方は、4C2=6通り
よって、この場合には、6×6=36通り
以上から、48+36=84通り

・3色の場合
4色の中から3色を選ぶ選び方は、4C3=4通り
このうちの1色では、必然的に2枚塗ることになるので、この1色の選び方は、3C1=3通り
この2枚の選び方は、4C2=6通り
残りの2枚を2色で塗る塗り方は、2C1=2通り
よって、4×3×6×2=144通り
または、256-24-4-84=144通り

投稿日時 - 2019-05-22 23:33:14

お礼

こちらの答えは正攻法ですね。ポイントは色の選びと場所(カード)の選びを掛けるところですね。解答ありがとうございました。

投稿日時 - 2019-05-23 21:27:06

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回答(2)

ANo.2

次の解法は計算の量が多いのですが、式を展開するだけでいわば「一網打尽」にすべての答えが得られる点は興味深いものがあります。

まず4つの色をa,b,c,dとします。対応は任意で、例えば(a,b,c,d)=(赤,青,黄,緑)とします。ここで(a+b+c+d)の4乗、つまり(a+b+c+d) (a+b+c+d) (a+b+c+d) (a+b+c+d)を考えます。最初の( )が1枚目、次の( )が2枚目、3番目が3枚目、最後が4枚目と考えると、これを展開した式は起こりうるすべての場合を1対1で網羅していて過不足がないことがわかります。実際展開した式を整理すると下のようになります。

(a+b+c+d)^4=(a^4+b^4+c^4+d^4)+4(a^3b+a^3c+a^3d+ab^3+ac^3+ad^3+b^3c+b^3d+bc^3+bd^3+c^3d+cd^3)+6(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2^d2+c^2d^2)+12(a^2bc+a^2bd+a^2cd+ab^2c+ab^2d+abc^2+abd^2+ac^2d+acd^2+b^2cd+bc^2d+bcd^2)+24(abcd).

ここで最初の(a^4+b^4+c^4+d^4)は、1色だけの組み合わせはそれぞれ1通りずつの合計4通りしかないことを示し、最後の24(abcd)は4色すべてを使う組み合わせが24通りあることを示します。

2色を使う組み合わせは、上の展開式で文字が2種類の項の係数の総和で、
4×12+6×6=84(通り)

3色を使う組み合わせは、上の展開式で文字が3種類の項の係数の総和で、
12×12=144(通り)です。

投稿日時 - 2019-05-23 18:23:33

お礼

(a+b+c+d)^4 を展開した()の前の係数はそれぞれ
4!/4!=1
4!/3!=4
4!/2!*2!=6
4!/2!=12
4!/1=24
ですね。

投稿日時 - 2019-05-23 21:23:35

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