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解決済みの質問

数学の問題です。

aを実数の定数とするxの方程式x^3+(a-1)x^2-a=0・・(※)
について次の問いに答えよ。
(1) a=1のとき(※)の解を全て求めよ。
(2) (※)の異なる実数解の個数が1となるようなaの値の範囲をもとめよ。
※という問題です。
宜しくお願いします。

投稿日時 - 2019-05-20 19:22:09

QNo.9618470

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

ANo.2の別解です。

(2)
x^3+(a-1)x^2-a=(x-1)(x^2+ax+a)と因数分解でき、与えられた条件を満たすためには、x^2+ax+a=0が実数解をもたなければいいので、
x^2+ax+a=0の判別式D:a^2-4a=a(a-4)<0
これから、求めるaの範囲は、0<a<4


難しく考え過ぎました。(反省)

投稿日時 - 2019-05-21 03:26:27

お礼

有難うございます。

投稿日時 - 2019-05-21 12:36:59

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回答(4)

ANo.2の補足です。

3次関数f(x)において、極大値<0であれば、極小値>0とはなり得ないので(必然的に極小値<0となるので)、どうやら無駄な考察をしたようです。

投稿日時 - 2019-05-21 00:57:16

(1)
a=1のとき、
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
よって、
x-1=0の解:x=1、x^2+x+1=0の解:(-1±i√3)/2

(2)
f(x)=x^3+(a-1)x^2-aとおくと、
f'(x)=3x^2+2(a-1)x=3x[x-{-2(a-1)/3}]

・-2(a-1)/3>0→a<1のとき
x=0で極大値:f(0)=-a
x=-2(a-1)/3で極小値:f(-2(a-1)/3)=(4a^3-12a^2-15a-4)/27
与えられた条件を満たすためには、f(0)<0またはf(-2(a-1)/3)>0
f(0)=-a<0となるのは、a>0
よって、0<a<1-(ア)
ここで、g(a)=(4a^3-12a^2-15a-4)/27とおくと、
g'(a)=12(a+1/2)(a-5/2)/27
よって、g(a)は、
a=-1/2で極大値:g(-1/2)=0
a=5/2で極小値:g(5/2)=-2
これから、a<1の範囲においてはg(a)≦0となり、条件を満たすaは存在しないので、(ア)の範囲のみとなります。

・-2(a-1)/3<0→a>1のとき
x=-2(a-1)/3で極大値:f(-2(a-1)/3)=(4a^3-12a^2-15a-4)/27
x=0で極小値:f(0)=-a
与えられた条件を満たすためには、f(-2(a-1)/3)<0またはf(0)>0
上で考察したg(a)の値が、a=-1/2以外で0となるのは、参考URLにもある通りの3次関数の対称性から、
a=5/2+{5/2~(-1/2)/2=5/2+3/2=8/2=4
よって、条件をを満たすaの範囲は、1<a<4-(イ)
また、f(0)=-a>0とするとa<0となり、a>1との共通範囲はないので、(イ)の範囲のみとなります。

・a=1のとき
既に(1)で触れたように、条件を満たします。

以上から、求めるaの範囲は、0<a<4


(2)がかなり複雑なので、計算ミスがあるかもしれません。
なお、a=0のとき、x=0が重解となり、a=4のとき、x=-2が重解となります。
何れも極大となる場合です。

参考URL:https://mathtrain.jp/sanji

投稿日時 - 2019-05-21 00:02:53

ANo.1

(与式) ⇔ (x-1)(x^2+ax+a)=0.
「3次方程式の異なる実数解の個数が1」・・・とは?
問題の表現はこの通りですか?

投稿日時 - 2019-05-20 21:13:26

補足

そうです。

投稿日時 - 2019-05-20 21:44:24

お礼

何とか解けました。
有難うございます。

投稿日時 - 2019-05-20 22:34:20

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