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解決済みの質問

中空球の慣性モーメント

外径20cm,内径15cm,質量4kgの中空球の球心を通る慣性モーメントを求めたいのですが、公式は使えてもなぜそうなるのかが理解できません。分かり難い質問ですみませんが、どなたか解説お願いします。

投稿日時 - 2004-06-30 00:11:29

QNo.909481

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

#3、#4、#5の者です。
私なりに解明できましたので、以下に説明します。

まず、半径r(cm)、幅w(cm)、面密度ρ(kg/cm^2)のリング(円)が、円の面と同じ(平行な)面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントAを求めましょう。

2πrρw・r^2=2πρw・r^3

さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のR(m)としておきましょう。

緯度がθのところのリングの半径rは、
r=Rcosθ
と書き換えることが出来ます。

この部分のリングの慣性モーメントは、
2πρw・r^3=2πρw・R^3・(cosθ)^3

さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。

その無限個の各リングの幅wは、
w→R・dθ
と置き換えることが出来るので、

中空球の慣性モーメント
=∫(-π/2→+π/2)2πρ・R^3・(cosθ)^3・R・dθ
=2πρ・R^4・∫(-π/2→+π/2)(cosθ)^3・dθ
=2πρ・R^4・∫(-π/2→+π/2)((cos3θ+3cosθ)/4)・dθ
=2πρ・R^4×4/3
=2/3・πρ・R^4

以上で、無限に薄い中空球の慣性モーメントが求まった。
あとは、これを厚さ方向(R)で積分すれば、球の慣性モーメントになる。

I=∫(0→R)2/3・πρ・R^4・dR
 =8/15・πρ・R^5
(球の慣性モーメントの公式のできあがり)

↑ここで、厚さ方向の積分を行なったので、ρは面密度でなく通常の密度に変更になっている。
(文字表記は、そのままにしました)

では、ここで、球の質量Mを用いて、ρを式から消去してみましょう。

球の体積は4/3・πR^3であるから、
密度ρは
ρ=M/(4/3・πR^3)である。

これを
I=8/15・πρ・R^5 に代入して、

I=8/15・πρ・R^5
 =8/15・π・R^5×M÷(4/3・πR^3)
 =2/5・MR^2

となり、#2さん、および、#5のリンクの公式と同じものが得られました。

あとは、計算だけですので、以降は#5の考え方でどうぞ。

投稿日時 - 2004-06-30 14:52:00

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございます。
学校では球の慣性モーメントの公式の導出過程の説明がなかったので助かりました。

投稿日時 - 2004-06-30 17:16:14

ANo.6

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回答(6)

ANo.5

#3、#4です。
何度もすみません。

私は無限に薄い中空球を想定して、それを積分することで、ご質問の答えになるということで考えていましたが、

よく考えてみたら、外径と内径のそれぞれで、球の体積を求め、その差の体積で4kgを割り算すれば密度が求まり、
それによって、
大きい球の体積から大きい球の質量がわかり
小さい球の体積から小さい球の質量がわかり
さらに、
大きい球の質量と外形から大きい球の慣性モーメントがわかり
小さい球の質量と外形から小さい球の慣性モーメントがわかり
そして、
大きい球の慣性モーメントから小さい球の慣性モーメントを引き算すれば答え。

つまりは、#2さんの説明に、プラス、球の慣性モーメントの公式の導出過程がわかればよいのですね。

球の慣性モーメントについては、下記のリンクをどうぞ。

http://heat.cse.oka-pu.ac.jp/ichi/lectures/Mechanics2/H14_Exam/Questions/Q_5/Q_5.html

なお、このリンクは、重積分が入った説明なので、もしも、もっとわかりやすい説明が見つかったら、また回答します。

参考URL:http://heat.cse.oka-pu.ac.jp/ichi/lectures/Mechanics2/H14_Exam/Questions/Q_5/Q_5.html

投稿日時 - 2004-06-30 13:01:46

ANo.4

#3です。
すみません。
私は慣性モーメントの定義を間違えていました。
質量に、軸からの距離の1乗ではなく、2乗を掛け算しなくてはいけないのですね。

ですから、そもそも#3の最初の式
2πrρw・r=2πρw・r^2
は誤りで、
2πrρw・r^2=2πρw・r^3
ですね。


あと、#2さんの引用していた公式
I=(2/5)MR^2
は、先ほど、ネットの中を検索して、正しいことを確認したので、
この式をRで微分した形に似た式が、この問題の答えになりそうな予感がします。

もうちょっとやってみます。
それらしい答えが出たら、また書きます。

とりあえず、#3は取り消しということで・・・。

投稿日時 - 2004-06-30 12:44:18

ANo.3

「公式」があるんですか。
知りませんでした。

面白い問題ですね。
私は計算に自信がないのですが、やってみました。

まず、半径r(cm)、幅w(cm)、線密度ρ(kg/cm)のリング(円)が、円の面と同じ(平行な)面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントAを求めましょう。
これは、簡単ですね。
2πrρw・r=2πρw・r^2

さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のR(m)としておきましょう。

緯度がθのところのリングの半径rは、
r=Rcosθ

この部分の慣性モーメントは、
2πρw・r^2=2πρw・R^2・(cosθ)^2

さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。

その無限個の各リングの幅はR・dθ

中空球の慣性モーメント
=∫(θ=-π~+π)2πρw・R^2・(cosθ)^2・R・dθ
=2πρw・R^3・∫(θ=-π~+π)(cosθ)^2・dθ

ここで、
∫(cosθ)^2・dθ
=∫(cos2θ+1)/2・dθ
=sin2θ/4+θ/2+積分定数
であるから、
中空球の慣性モーメント
=2πρw・R^3・[sin2π+π/2-sin(-2π)-(-π/2)]
=2πρw・R^3・π
=2π^2・ρw・R^3


以上、計算に全然自信がないのですが、
2π^2・ρw・R^3
みたいな感じの公式になってませんか?

私は答え合わせができないもので(笑)
・・・ただし、少なくとも導出過程の途中まではあっていると思いますけど・・・

投稿日時 - 2004-06-30 10:43:53

ANo.2

球の質量はρを密度として
M=(4/3)ρπR^3
課題の数値からρを逆算して中空でない球のMを計算。

球の慣性モーメント
I=(2/5)MR^2
中空球のI=中空でない球のI-中空と同じ球のI

答が欲しいならはっきりそう書いた方がいい。

投稿日時 - 2004-06-30 05:03:36

ANo.1

まず「慣性モーメント」ってどんな意味なのか、物理学的にどんな意味をもっているものなのか理解してください。それが理解できていれば、何らむずかしい事ではありません。

投稿日時 - 2004-06-30 00:25:49

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