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解決済みの質問

ベクトルの問題です。教えて下さい。

ベクトルaを'a'と表すことにします。
'a'の大きさは|'a'|となりますので宜しくお願いします。
平面ベクトル'a'、'b'について、
'a'、'b'が|3'a'-2'b'|=2、|2'a'+'b'|=1を満たしながら動くとき、内積'a'・'b'のとりうる値の範囲を求めよ。
という問題で、答えが3/49≦'a'・'b'≦5/49
となるのですが、どうしてそうなるか分かりません。
教えて下さいお願いします。

投稿日時 - 2004-06-29 12:32:26

QNo.908847

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

3a↑-2b↑=A↑,2a↑+b↑=B↑
とおきかえると,
a↑=(1/7)A↑+(2/7)B↑
b↑=-(2/7)A↑+(3/7)B↑
となるので,
a↑・b↑=((1/7)A↑+(2/7)B↑)・(-(2/7)A↑+(3/7)B↑)
=-(2/49)|A↑|^2+(6/49)|B↑|^2-(1/49)A↑・B↑
=-(8/49)+(6/49)-(1/49)A↑・B↑ (∵|A↑|=2, |B↑|=1)
=-(1/49)(2+A↑・B↑)
となります.ここでa↑とb↑が題意の条件を満たしながら自由に動くということは,A↑とB↑が単純に|A↑|=2, |B↑|=1を満たしながら自由に動くことなので,
A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ=2cosθ
より(ただし,θはA↑とB↑のなす角),
-2≦A↑・B↑≦2
です.よって,
-4/49≦a↑・b↑≦0
となります.

>答えが3/49≦'a'・'b'≦5/49

答えがNo.1のnablaさんと同じになりましたが,問題文等に写し間違いはないでしょうか?

投稿日時 - 2004-06-29 23:49:59

お礼

本当でした!
|3'a'-2'b'|=2ではなく、|3'a'-2'b'|=1
でした。
それで教えて頂いた様に解いていくと
答えが出ました。
ありがとうございました!!!

投稿日時 - 2004-06-30 11:52:05

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回答(4)

ANo.3

ベクトルの加算は
|A+B|^2 = |A|^2+|B|^+2|A|B|cosθ
であるから右辺の|A|B|cosθが内積です
最初の|3a-2b|=4は
(3a)^2+(2b)^2+2内積 = 4^2
次の式も同じようにしてa^2とb^2の連立方程式で解く
そしてa^2≧0、b^2≧0から内積の存在範囲が。

投稿日時 - 2004-06-29 18:29:01

ANo.2

-1/12 ≦ a・b ≦ 0 です

投稿日時 - 2004-06-29 18:19:44

ANo.1

こっちのミスの可能性もありますが…

答えが-4/49~0になりました。

実際aの長さが0でbの長さが1のとき題意を満たしますし…

投稿日時 - 2004-06-29 17:27:51

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