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センター物理 モーメント

一様な細い金属線を折り曲げて辺の長さがa,a,√2aとなる直角三角形の枠をつくり、図2のように角90°の頂点を原点とし、長さaの二つの辺に沿ってx軸とy軸をとった、この枠の重心のx座標はいくらか

別解1 平面x-yを水平面にとって、y軸のまわりの重力によるモーメントを考える、枠の各辺にはたらく重力によるモーメントの和=合力によるモーメントであるから
(m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2よってx=√2a/4
別解2 辺OAと辺OBのそれぞれの重心の座標より、辺OAと辺OBをあわせたものの重心の座標は(a/4,a/4)となる、2物体からなる物体の重心は各物体の重心の間を質量の逆比に内分する点であるから、全体の重心のx座標はx=a/4+√2m/(2m+√2m)×(a/2-a/4)=√2a/4

別解1の重力によるモーメントの和=合力によるモーメントの和というのが何故成り立つのか分かりません、(m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2の式も何故成り立つのか分かりません
別解2は辺OAとOBをあわせた物の重心の座標が(a/4,a/4)となるのが分かりません
その結果全体の重心がx=a/4+√2m/(2m+√2m)×(a/2-a/4)=√2a/4となるのも分かりません

投稿日時 - 2015-01-05 09:57:16

QNo.8880706

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

>質量の逆比に内分する点

これをくり返し適用するのが別解2です。

質量の逆比に内分する点は2体の加重平均と同等。
でも加重平均は3体以上でも使えて、式も美しい
ですが、逆比は2体ずつ処理しなきゃいけない
のでめんどう。参考に知っておく程度で充分です。

投稿日時 - 2015-01-07 08:55:24

補足

分かりました、有難うございました

投稿日時 - 2015-01-07 11:01:29

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-07 11:01:39

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回答(14)

ANo.13

>結局この逆比で考える考え方は合ってるんですよね?

ベクトルの「加重平均」で理解してほしいですね。

n個の物体の重心位置が ri (i = 1 ~n)、質量が mi(i = 1 ~n)なら
全体の重心位置は (Σ[i=1~n]ri・mi)/(Σ[i=1~n]mi)
#riは位置ベクトルです。

覚えておくべきことはこれだけです。
#問題そのまんまですが、教科書に載っていたはず。

投稿日時 - 2015-01-06 13:00:01

補足

加重平均の考え方が別解1の左辺の考え方ですよね?
結局重心を求めるとき、2物体の重心を求めるときは2物体の重心のx座標の間を2物体の質量の逆比に内分する点がその2物体の重心のx座標って事ですよね?

投稿日時 - 2015-01-06 13:11:17

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-06 13:11:28

ANo.12

別解2で逆比が出てくるが、これは別解1のように立式をしたうえで
それを解くという途中の過程を省略しているだけで、特別に異なること
をやっている訳ではない。別解1と2の相違点は逆比が出てくるかどうか
ではなく、モーメントの基準を決めたうえで立式してそれを解くか、
物体の対称性を利用するかの違いだと理解すべきだ。逆比で覚えたいなら
止めはしないが、その根底にはきちんと立式をする過程が含まれている
ことを理解しておくべきだ。

>結局2点間の重心の位置は2点間を質量の逆比に内分する点なんですよね?
>だからまずOAとOBのx座標をOAとOBの質量の逆比に内分する点を求めて、
>そのx座標とABの重心のx座標の2点間をOAとOBの質量の和とABの質量の
>逆比に内分するx座標が全体の重心のx座標という事ですよね?

そう考えるのならまずはきちんと立式してそれを解き、それが逆比に従うか
どうか自分の手で確認しな。その結果が問題の回答と合い、かつ逆比に従う
のであれば上記の考えは正しいということだろう。

投稿日時 - 2015-01-06 07:44:01

補足

結局この逆比で考える考え方は合ってるんですよね?

投稿日時 - 2015-01-06 08:53:12

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-06 08:53:22

ANo.11

そうだ、肝心なことをいい忘れていた。まあ普通の理解力がある者にとっては
こんなことは完全に蛇足なのだが。

辺ABの中点と点Oを結ぶ直線、つまり今まで直線(エ)と呼んできたものは
この直角二等辺三角形の枠の対称軸だ。

従って
・この枠全体の重心
・辺ABの重心
・辺OAとOBのみを考えた場合の重心
はいずれも直線(エ)上にある。

投稿日時 - 2015-01-05 22:52:47

補足

結局2点間の重心の位置は2点間を質量の逆比に内分する点なんですよね?だからまずOAとOBのx座標をOAとOBの質量の逆比に内分する点を求めて、そのx座標とABの重心のx座標の2点間をOAとOBの質量の和とABの質量の逆比に内分するx座標が全体の重心のx座標という事ですよね?

投稿日時 - 2015-01-06 07:22:53

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-06 07:23:11

ANo.10

>長方形の場合は分かりますが、この場合3角形の棒の質量が異なるので
>重心が何でウやエで求まるのか分かりません

別解2をきちんと読もうか。別解2は
(1)まずOAとOBだけを考えてこの二つを合わせた重心を求める
(2)上記で求めた重心と、ABの重心とで全体の重心を求める
というステップを踏んでいる。

そして私が言っているのは
(ウ)辺OAの中点と辺OBの中点を結ぶ直線
(エ)辺ABの中点と点Oを結ぶ直線
から上記の(1)ができるということだ。その手順はNo8で説明した。

(1)が済んだら今度は(2)だ。直線(エ)上に、ある距離をおいてmおよび
m√2の質量がある状態を考えればいい。どこでもいいから(例えば
点O)をモーメントの基準としてモーメントの和を求める(別解1のような
立式をする)。

投稿日時 - 2015-01-05 19:37:15

補足

結局2点間の重心の位置は2点間を質量の逆比に内分する点なんですよね?だからまずOAとOBのx座標をOAとOBの質量の逆比に内分する点を求めて、そのx座標とABの重心のx座標の2点間をOAとOBの質量の和とABの質量の逆比に内分するx座標が全体の重心のx座標という事ですよね?

投稿日時 - 2015-01-06 07:22:19

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-06 07:23:14

ANo.9

しまった。対象ではなく対称だ。

投稿日時 - 2015-01-05 17:40:39

ANo.8

>OAやOBの中心は分かりますが、何でこの2つをあわせた中心がウやエで求まるんですか?
例えば密度も厚さも均一な、長方形の板状の物体の重心はどこにある?
この長方形をABCDとすると下記の二つの直線の交点が重心だろ?
(1)ABの中点とCDの中点を結んだ直線
(2)BCの中点とDAの中点を結んだ直線
この二つの直線は、長方形の対象軸だ。対象軸のある物体の場合、対象軸からLの距離に質量Mが
存在したとすると、対象軸に対して反対側にも必ずLの距離に質量Mが存在する。それが対象性と
いうことだ。この二点だけに関する重心は二点の中点、つまり対象軸上となる。対象軸の片側の
あらゆる点についてこのことが成り立つので、物体全体の重心も対象軸上にある。
*上記の距離Lというのは、ある点から対象軸におろした垂線の長さということに注意。

で、OAおよびOBの中点にそれぞれ質量mがあったとすると、これは質量を無視出来る棒の両端に
それぞれ質量mの重りが付いていて、全体としての重心はどこかという話になる。上記の対称性
から考えると明らかに棒の中点だろ?

投稿日時 - 2015-01-05 17:23:32

補足

長方形の場合は分かりますが、この場合3角形の棒の質量が異なるので重心が何でウやエで求まるのか分かりません

投稿日時 - 2015-01-05 17:53:45

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 17:53:56

ANo.7

>だから10×100+20×100=3000が左回りのモーメントですね
別解1の右辺もそれと同じことをやっているだけなのだが?
(m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2
そして全ての質量が重心に集中していると考え、モーメントの基準
から重心までの距離をxとして左辺を立式しているのだが?

投稿日時 - 2015-01-05 15:17:26

補足

なるほど、y軸から全体の重心の位置のx座標までの距離をxとしたわけですね、これが左辺で
右辺はそれぞれの棒の重心とy軸からの距離をモーメントで考えたってわけですね

投稿日時 - 2015-01-05 17:11:27

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 17:11:37

ANo.6

>何でxで統一しているんですか?
xが何であるかの説明もしたのだが、読めていないのだね。
別解1の式
(m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2
の右辺は何だ?

>OAとOBをあわせた重心が何で・・・
三角形OABの対称性を考えれば(エ)は明らかだろう。
対象軸を有する物体の重心はその軸上にあるということだ。
その密度が均一であるという条件は必要だが。
辺OAだって、その対象軸がOAの中点を通っているから
重心と中点が一致している。

そして辺OAおよびOBの質量がそれぞれOAの中点、および
OBの中点に集中していると考えれば(ウ)も明らか。

投稿日時 - 2015-01-05 14:27:36

補足

>右辺は何だ?
3本の棒の重さと重心のx座標の積です、これは何を表しているんですか?

>OBの中点に集中していると考えれば(ウ)も明らか。
OAやOBの中心は分かりますが、何でこの2つをあわせた中心がウやエで求まるんですか?

投稿日時 - 2015-01-05 15:30:33

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 15:30:42

ANo.5

>支点からの距離が10cmで100と20cmで200とある
誰がそんなことを書いたのかな?

投稿日時 - 2015-01-05 14:17:26

補足

>天秤の片側には支点から10cmのところに100g、20cmのところに
>100gの重りが下がってい
だから10×100+20×100=3000が左回りのモーメントですね、右回りも同じ値にするために
200×x=3000で15ですね、支点から15cmの所ですね

投稿日時 - 2015-01-05 14:28:32

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 14:28:40

ANo.4

>支点から25cmの所
ブッブー。不正解。
別解1のように
Σ(重りの質量*支点からの距離)
を計算してみな。そしてその結果を200(g)で割ってみな。

投稿日時 - 2015-01-05 12:55:50

補足

モーメントのつりあいでやったんですが、支点からの距離が10cmで100と20cmで200とあるので左回りのモーメントは10×100+20×200=5000ですよね、それにつりあうように
右回りのモーメントを200×xで出して5000になるようにすると25と出たんですが、何が駄目なんですか?

投稿日時 - 2015-01-05 13:03:55

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 13:04:05

ANo.3

これは、物体を質点の集合体とした場合の一般的な証明があります。
興味があれば、力学の本を読めばよいでしょう。
剛体を扱うのに必要な知識なので、たいていの力学の本に載ってます。

高校物理では、そういうものだと暗記すればよいのでは?
証明しろなんて問題は出ないと思います。

投稿日時 - 2015-01-05 12:50:04

補足

各辺にはたらく重力によるモーメントの和=合力によるモーメントが
(m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2となるのが分からないんです
この式は何でこう表せるんですか?

投稿日時 - 2015-01-05 13:01:45

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 13:01:54

ANo.2

>どこかのまわりで考えると距離が全部変わってくると思うのですが
どこを基準にしているか、別解1の文中にあるだろう。人に質問なり
反論するのなら文章くらいちゃんと読もうか。ちなみにxというのは
上記の基準と、三つの辺全てを考慮した時の重心の距離だ。

>何で自明なんですか
じゃあ例えば辺OAだけの重心はどこにある?OAの中点だろ?これだって
図形の対称性から来ているのだが?

投稿日時 - 2015-01-05 12:48:13

補足

>別解1の文中にあるだろう
y軸ですよね、だとすると3本の棒の重心の位置はy軸から全部違う距離離れてますよね、何でxで統一しているんですか?

>図形の対称性から来ているのだが?
OAの場合は真ん中を考えるだけだからすぐ分かりますが、OAとOBをあわせた重心が何で
(ウ)辺OAの中点と辺OBの中点を結ぶ直線
(エ)辺ABの中点と点Oを結ぶ直線の二つの直線の交点であることになるんですか?

投稿日時 - 2015-01-05 13:00:24

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 13:00:32

ANo.1

別解1
(ア)物体を構成する部品のそれぞれに働く重力に起因するモーメントの総和
(イ)上記の重力が全て物体の重心に働いたとした場合のモーメント
が等しいということ。

小学校で習った天秤の問題と同じ。例えば
天秤の片側には支点から10cmのところに100g、20cmのところに
100gの重りが下がっています。この天秤の反対側に200gの重りを
下げて釣り合わせるためには200gの重りはどこに下げればいいでしょう?

別解2
図形の対称性から、辺OAとOBのみを考えた場合の重心は
(ウ)辺OAの中点と辺OBの中点を結ぶ直線
(エ)辺ABの中点と点Oを結ぶ直線
の二つの直線の交点であることは自明。また、辺ABを併せ考えた場合の重心が
上記の(エ)の直線上にあることも自明。あとは辺OAと辺OBを併せた重心と、
辺ABの重心とに関して別解1と同じ要領で原点基準のモーメントの和を取ればいい。

「各物体の重心の間を質量の逆比に内分する」は間違ってはいないが、
いきなりこれを出しても質問者には難易度が高い。一旦別解1のように立式し、
結果として「逆比に内分する」と考えておいた方が間違いが少ない。

投稿日時 - 2015-01-05 12:09:19

補足

>物体を構成する部品のそれぞれに働く重力に起因するモーメントの総和
モーメントって何かの周りで考えるんじゃないんですか?何でこの式の左辺は全部xを掛けてるんですか?どこかのまわりで考えると距離が全部変わってくると思うのですが

>下げて釣り合わせるためには200gの重りはどこに下げればいいでしょう?
支点から25cmの所

>の二つの直線の交点であることは自明
何で自明なんですか、何でそうなるか理由が全然分からないです

投稿日時 - 2015-01-05 12:43:10

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2015-01-05 12:43:19

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