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解決済みの質問

再び、同じ小五の算数の問題です(^_^;)

円を内接させる正方形

円の半径は5cm

正方形の外周は何cmか?

これを数学できちんと解くには、円と接する直線は、その接点と中心とを結ぶ半径が直線と直角に交わる。という定理(あるいは事実)の証明が必須です。

では、この定理を用いずに解く、別の方法はありますか?

もし複数ありましたら、それも教えて頂けると幸いです

よろしくお願いします

投稿日時 - 2014-03-12 01:59:24

QNo.8510179

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

頭固いなぁ 皆

定理とか証明とかどぉでもよくて、小五でも数学的に簡単に解ける問題ですよ

内接円だけを、横に5cmスライドさせてみてください。
脳内でもOK

すると、円の直径と正方形の一辺が完全に重なりあうでしょ!

あるいは、同じことだけど、正方形の任意の一辺の中点を中心とする半径5cmの円を描く

この円の直径も正方形の一辺と一致

半径5cmなので、内接円と合同(合同という単語は中学校からだから、小学生なら同じ形でもいいけど、概念は同じ)

これでめでたくご名答

異論ある方いたら、どうぞ

投稿日時 - 2014-03-12 10:44:05

お礼

目から鱗のご回答ありがとうございました

投稿日時 - 2014-03-12 16:38:40

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回答(20)

ANo.20

No.6です。
 ややこしくなってますね。せっかく定規が用意されているので・・正方形の一辺をそれで測ればよい。折り方を変えて・・
 繰り返しになりますが、ユークリッド幾何学で頭が固まるとそれ以外は証明ではないというのは間違いです。
 ユークリッドでは証明できない、折り紙や関数(解析)でないと証明できない図形はたくさんある。

投稿日時 - 2014-03-13 18:27:25

再度、申し訳ありません。

「この場合の二接点が二辺上を平行移動(スライド)するためには」も間違いで、「この場合の二接点が二辺上を四角形の頂点に重なり合うように平行移動するためには」です。

投稿日時 - 2014-03-13 17:16:15

NO17訂正
「または」以降の、「接点と接点が二辺上を平行移動できると証明されたのか。」は間違いで、「接点と接点が結ぶ線(直径)が平行移動した先の四角形の一辺と『重なり合うように』移動できることが証明されたのか」です。

二点が二辺上を平行移動できることは、正方形という条件がありますのでわかることでした、すみません。

投稿日時 - 2014-03-13 17:13:34

本当にNO16さんの仰る通りですね。

いつ、円の直径とスライドさせる前の四角形の一辺が平行だということが証明されたのか、または、接点から接点を結ぶ線(直径)をスライドさせるにあたって、接点と接点が二辺上を平行移動できると証明されたのか。この場合の二接点が二辺上を平行移動(スライド)するためには、そもそも二接点を結ぶ線(直径)が二辺(円と接する二つの直線)と直角に交わっていることが証明されていなければなりません。

結局そこが正しく証明されていなければ、NO10さんの回答だって厳密には質問者様の求めている回答とはなりません。

NO12さんがご指摘されていることを借りれば、あなたが狭い見識で、「信じられず、証明を要するもの」(この証明はしておかなければならないというもの)と、「無条件に信じてよいもの」(こちらの意見・回答なら別にいらないなと勝手に勘違いしているもの)とを曖昧にしているだけだと思います。

投稿日時 - 2014-03-13 17:04:54

ANo.16

円と接する直線とその接点と円の中心を結ぶ線が直行するという事実を与えられたものとしなければ、小学5年生にはこの問題は解けません。その条件を導くことも含めて厳密に解くには、最低でも平面座標、円の関数、円上の接点における微分係数の知識が必要になるので高校数学の範疇です。

》♯10さんの単純明快な解法に気付いていなかったので、直角で交わっていることの証明が必要だと思っていました
円をスライドすると直径と辺が重なるという事実は、そもそも「円と接する直線は、その接点と中心とを結ぶ半径が直線と直角に交わる」という前提がなければなりたたないんですが....

投稿日時 - 2014-03-13 15:18:20

ANo.15

対角線で折れ。

投稿日時 - 2014-03-13 07:54:13

お礼

折ると?!

投稿日時 - 2014-03-13 12:55:25

ANo.14

僕の理解は左図、No.10 さんの説明は右図です

同じ小説を読んでも感じ方は十人十色

数学の理解も人それぞれ理解できるツボが違って
当然です

ですので、質問者さんが No.10 さんの回答で

「目から鱗」 と思っても、小学5年のお子さんが
同じように感動するかどうかは説明してみないと
わかりません

今までの回答を、お子さんにしてみて、どれが
1番 うけたか、教えてください

もし、今までの回答でまだ OK が出ない時、

お子さんの「生の声」 をお聞かせください

なんとか理解できるよう説明頑張ります

投稿日時 - 2014-03-13 07:14:05

お礼

きれいな作図 ありがとうございます

私の子供の場合は、右図の方が解りやすいとのこと。
左図でも解るけど、もし友達に説明する場合は、右図を用いるとのことでした。

ただ、サンプル数は一人だけなので、例えば、クラス全員に問えば、どちらが人気があるかはわかりません

投稿日時 - 2014-03-13 08:17:41

回答NO11のお礼を読みました。
そんなことはわかっています。

何度もコメントして申し訳ないですが、あなたは前回のNO1さんがお答えになってくれたことをわかっていらっしゃいますか?NO10さんが回答してくださったことは非常にわかりやすいと思います。そしてあなたが小学生にも解ける解法求めていたこともわかります。

ただ、その前にあなたは証明にこだわっているかのような発言をされていますよね。今回の私へのお礼で「その証明は小学生には難解」、また、前回の質問でそのような主旨の発言をしながら、なおNO1さんへの補足で「質問の問題は、円に接する直線が半径と直角に交わることを数学的に証明出来なければ、解くのは不可能なことは、数学が解る人には当然でしょう」とお答えしていますよね。だから、私はそこにこだわる必要があったのですか?と申しているのです。

また、NO12さんも仰っていますが、最初の証明へある程度こだわりを見せるのであれば、回答NO10さんの回答に対しても証明が必要なはずです。別にそこまでこだわる必要がないのであれば、最初の証明だってこだわる必要がなく、譲歩すべき点がもっとあったはずです。

NO10さんの回答であなたが納得されたことが解せません。

投稿日時 - 2014-03-12 22:28:46

お礼

♯10さんの単純明快な解法に気付いていなかったので、直角で交わっていることの証明が必要だと思っていました

投稿日時 - 2014-03-13 08:13:29

ANo.12

「接線と半径(直径)が垂直かどうかわからない」とこだわる方が、
「平行移動したら、円の直径と正方形の一辺がピッタリ重なる」ことを無条件で納得するというのがよくわからない。

もちろん、厳密には前者は証明を要することですが、それならば後者も証明を要するのでは??


結局、何が「正しいもの」「無条件に信じてよいもの」として与えられ、何が「信じられず、証明を要するもの」なのかの区別があいまいということでは?


で、振り返ってみれば、小学生には「証明の前提」も、「証明の手段」も与えられていないので
「先験的に正しい」「直観的に正しい」ことを(証明なしに)記述すれば、それが「出題に対する正しい回答」になるのでは?

投稿日時 - 2014-03-12 22:17:23

お礼

直角で交わっていることは証明が必要です
直感的にそうだろうと思えれば、一応は正方形の外周の長さにつては、正解をだすことが可能ですが、算数を勉強する目的は、論理的思考力の訓練です

直感で直角だと見抜いても、算数(数学)的になぜ直角になるのかを説明できなければ、答えだけ合っていても意味がありません

円をスライド、あるいは辺の中点から同じ円を作図。には、直径と辺が重なりあうという事実が現れるので、証明は不要です

直角で交わっているかどうかは、肉眼ではそう見えますが、90.000000001度ではなくて90度だと数学的に言及するには証明が必要です

投稿日時 - 2014-03-13 08:10:48

回答NO10さんの説明は小学生に理解してもらうために素晴らしい回答だと思いますが、結局質問者様はそれで納得されるのなら最初から「接点と中心とを結ぶ半径が直線と直角に交わる証明」にこだわっていることが間違いだったということではないですか。私は別にいいですが、前回の回答NO1さんが無下に否定されるかのような態度をとられたことが不憫です。

投稿日時 - 2014-03-12 21:00:10

お礼

♯10さんのような、単純明快な解法が見いだせず、図形のまま解こうとして、そうなると接線が半径と垂直に交わることの証明が必須

しかし、その証明は小学生には難解

ならば、小学生でも解ける解法を質問したら、唯一♯10さんが名答してくれた。という訳です

投稿日時 - 2014-03-12 21:59:42

ANo.9

質問がはっきりしませんよね。

小5という縛りの中で答えるのか?

それとも、厳密な公理系から、
完璧な証明を求めているのか?

ようするに、小5ということを無視してよいかです。

投稿日時 - 2014-03-12 10:06:02

お礼

♯10さんの回答で解決しました

投稿日時 - 2014-03-12 16:39:34

前回の質問が締め切られてしまったので、こちらで回答させて頂きます。質問の主旨は大体わかっていますよ。私は前回のNO1さんに対するあなたの補足での返答からうかがえる姿勢に対して意見を申したのです。

「定理的に取り合えず教えているのか」、「小学生でも理解できる擬似的な証明等を教えているのか」、「あるいは、その他、具体的にどうしているのか」と一応は小学生のことも考えて尋ねていらっしゃるかもしれませんが、一方で、「質問の問題は、円に接する直線が半径と直角に交わることを数学的に証明出来なければ、解くのは不可能なことは、数学が解る人には当然でしょう」と、あたかも(小学生にとっても)正しい証明が必要かのような意見なので、そこを一度ひいてみてみないとわからないのではないですか?と言っているのです。

投稿日時 - 2014-03-12 09:40:54

お礼

♯10さんの回答で解決しました

投稿日時 - 2014-03-12 16:40:02

ANo.7

No.4 です

No.4 に添付したように対辺の中点を結ぶ補助線を描くと
正方形の中に直径 5cm の小さな正方形が4つできます
これで、大きな長方形の直径 10cm、それが4つあるので
外周は 40cm というだけだと、ダメ?

子供により、躓く所が違うので、子供がどの段階で疑問
を抱いてるのか把握しないと、説明難しいです

投稿日時 - 2014-03-12 09:32:28

お礼

♯10さんの回答で解決しました

投稿日時 - 2014-03-12 16:40:37

ANo.6

No.5です。
円の内接正方形、外接正方形だけでなく。三平方の定理も
 ⇒三平方の定理 折り紙 - Google 検索( https://www.google.co.jp/search?q=%E4%B8%89%E5%B9%B3%E6%96%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86+%E6%8A%98%E3%82%8A%E7%B4%99&num=30&safe=off&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=8p0fU4ztKMy7kQXU_IGoDA&ved=0CAkQ_AUoAQ&biw=1024&bih=612 )
 のようにたくさんの方法があります。

 ユークリッド幾何学は、あくまで定規とコンパスによる作図( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3 )じゃないですが、公理から論理だけを使って説明していく数学の一分野に過ぎません。そのために証明の手法が制約されていますし、証明できる範囲も限られています。複雑な曲線などになると解析幾何学の手を借りることになります。ユークリッド幾何なんて実用的なのは三平方定理くらい。それよりも「論理を積み上げて高度な内容を説明していく」という数学的な考え方を学ぶための手段です。
 高校以降はユークリッドなんて使わないと言っても過言じゃないでしょう。

 ユークリッドだけが証明する手法じゃないです。ここを間違えてらっしゃるのじゃないかと・・。

投稿日時 - 2014-03-12 08:44:09

お礼

♯10さんの回答で解決しました

投稿日時 - 2014-03-12 16:41:06

ANo.5

円は中心からの距離が一定の点の集合、正方形は4辺の長さが等しい長方体
正方形を縦横二回折ると4つの正方形ができる。
扇形の外接正方形ですから、常に円は内側にあるので・・

投稿日時 - 2014-03-12 08:07:09

お礼

♯10さんの回答で解決しました

投稿日時 - 2014-03-12 16:41:32

ANo.4

前回の質問でも紹介した
平面図形
円の接線 説明
http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/6/07/001a.htm



円の外にある1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

というのもあります

「円 の接線 は,接点 を通る半径 に垂直になる」 という定理を使って証明される性質なので、これを使っちゃいけない? 反側?

この性質を使うと、頂点から円と接する接点までの長さは等しく、
正方形で対称ですので、どの頂点からの接点までの長さも等しく、
接点は各辺の中点となります

そうすると、対辺の接点を結んだ直線は辺からの高さが同じ
長方形の1辺で、正方形の1辺の長さと同じで、かつ、
円の直径となりますので、正方形の1辺の長さは、
円の直径 = 5cm × 2 = 10cm

では、納得してもらえないかなぁ?

manbowglass さんが納得できないの?

manbowglass さんの教えてる子供が納得してくれないの?

投稿日時 - 2014-03-12 07:21:52

ANo.3

 前の質問にどのような回答が出るか興味深く注目していました。

 証明となると、中学生でもちょっと苦しいかもしれません。

 小学生向けに考えてみました。

 内接点は各辺の二等分点である。

 二等分点から円の中心に引いた線は、他の辺と平行である。

 ゆえに、最初の辺と直角である。

 接点を中心とした、半円を描くと分りやすいかもしれません。

投稿日時 - 2014-03-12 06:55:32

お礼

接点が辺の中点であることの証明がチョッと難しいのでは?

♯10さんの回答で解決しました

投稿日時 - 2014-03-12 16:43:05

ANo.2

円の直径が正方形の一辺に
等しい、という事実を使います。

投稿日時 - 2014-03-12 06:45:34

ANo.1

小5でしょ。

40センチ

投稿日時 - 2014-03-12 02:02:26

お礼

答えは質問していません

解法を質問しています

投稿日時 - 2014-03-12 02:19:00

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