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解決済みの質問

定積分の積分範囲

F(x)=∫[1→x]|t-x|dt のグラフを書けと言う問題で
解答を見ると場合分けで答えているのですが、

x<=1のとき積分範囲x<=t<=1
∫[1→x](t-x)dt= -((1-x)^2)/2

x>=1のとき積分範囲1<=t<=x 
∫[1→x](x-t)dt= ((1-x)^2)/2

計算自体は問題ないのですが

x<=1のときに[1→x]への積分範囲とはどんな意味なのですか?

参考書には定積分の上限と下限の大小は積分公式には関係無いと
書いてあるのですがちょっと分かりません

投稿日時 - 2012-10-01 00:19:52

QNo.7725891

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

ANo.1です.補足です.

定積分の定義

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)

においてx_iの代わりにx_i≦ξ_i≦x_{i+1}なる任意の値ξ_iを使ってもよいです.厳密には任意の[a,b]の分割と任意のξ_iに対して

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(ξ_i)(x_{i+1}-x_i) (δ=max_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)

が一定値Iに収束するときIを定積分と呼ぶわけです.しかし実際は分割をn当分にし,ξ_i=x_iとすることが多いです.定積分が存在するら,分割とξ_iをどのように取ろうともIが計算できるからです.だから教科書にはa=0,b=1の場合

lim_{n→∞}(1/n)Σ_{i=0}^{n-1}f(i/n)

という公式を載せていることが多いのです.

再度強調しますが,定義においてはa<bということが重要ですが,c>dの場合の定積分は

∫_c^df(x)dx=-∫_d^cf(x)dx

と約束します.こうすると,便利な公式がそのまま成り立つので都合がよいわけです.マイナスの面積になるという意味付けもできます.←多分このことに質問者様は違和感があるのではないかと思われますが.

投稿日時 - 2012-10-01 12:48:00

お礼

約束と言う解答に納得です。ありがとうございました

投稿日時 - 2012-11-09 00:19:08

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回答(3)

ANo.2

被積分関数はtの関数で|t-x|の絶対値の外れ方がxの範囲によって変わるので注意して計算し、その際定積分の計算の定義から、定積分の上限と下限は変える必要はないですよ、という意味です。(添付図参照)

>x<=1のときに[1→x]への積分範囲とはどんな意味なのですか?
特に意味は考える必要はないと思います。こういう定積分の値を求めなさいという計算問題と考えればよいと思います。(定積分の定義は教科書に載っていると思うので確認しておいてください)
あえて意味を考えるなら、添付図で言うと(左図)y=t-xを1からx(x≦1)に向かって(座標平面上ではx軸の負の方向)積分しているので、y=t-xとx軸との囲まれた面積をマイナス値(Δx<0、高さは正)で足していくことによりマイナスの面積を求めたといえるのかな?あまり意味のある解釈とは言いがたいような気がします。

面積を求めたければ、定積分の性質
∫[a→b]f(x)dx=-∫[b→a]f(x)dx
を使って積分区間をひっくり返す必要がありますが、ここではただの定積分の計算なのでそうする必要はないということです。

投稿日時 - 2012-10-01 01:35:23

お礼

ご解答いただきありがとうございました。

投稿日時 - 2012-11-09 00:18:13

ANo.1

定積分の定義は,f(x)の不定積分F(x)が知れているときは

∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

で定義します.右辺はa,bの大小によらず計算できますからよいのです.

不定積分の存在によらない定義は区間[a,b](a<b)の分割Δ:a=x_0<x_1<・・・<x_{n-1}<x_n=bにおいて,δ=max_{0≦i≦n-1}|x_{i+1}-x_i|とおくと,分割Δに関わらず

lim_{δ→0}Σ_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)

が一定値Iに収束するとき,Iをf(x)のaからbまでの定積分∫_a^bf(x)dxと言います.このときはa<bですが,c>dのときも

定積分∫_c^df(x)dx=-∫_d^cf(x)dxと規約

します.

だから,x≦1のときに∫_1^xは-∫_x^1の意味なのです.

投稿日時 - 2012-10-01 00:55:10