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物理 弾性エネルギー

弾性エネルギーの問題です。

全く分からなくて困ってます。

(1)~(7)に当てはまるように書く問題です。


図(a)のように,自然長 l ,ばね定数 k のばねをつけた質量 m の物体を,地上より高さ h から自由落下させた。地面に落下したとき,この物体がばねを通して地面から受ける最大衝撃力の大きさ F を求めたい。ただし,重力加速度の大きさを g とする。物体の大きさとばねの質量は無視するものとする。
 ばねの先端が着地した瞬間での運動エネルギーは,エネルギーの保存則から位置エネルギーの差 (1) に等しい。
 ばねが,その自然長 l から x だけ押し縮められたとき,物体は一瞬静止した。この瞬間,物体はばねから最も強い力 F= (2) を受ける。この F を決めるには,ばねの縮み x を求めなければならない。
 ばねが x だけ押し縮められたとき,物体は,重力による位置エネルギー (3) の他に,ばねの弾性力による位置エネルギー (4) をもっている。このときの物体の全エネルギーは,エネルギーの保存則から,ばねの先端が接地した瞬間に物体がもつ全エネルギー (5) に等しい。
 以上の考察と簡単な計算により,最大衝撃力 F は次の形に書くことができる。
      F=mg(1+ (6) )
h=l のとき,すなわち図(b)のようにばねを接地して静かに物体をはなしたとき,物体がばねから受ける最大の力 F は, mg の (7) 倍である。

(1)はmg(H-h)でいいとおもいますが
それ以降がわかりません。

お願いします。

投稿日時 - 2012-08-01 10:34:25

QNo.7621399

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

オモリに働く力は、重力(保存力)とバネからの弾性力(保存力)だけです。
床からの垂直抗力が気に掛かるかも知れませんが、垂直抗力はバネには働きますが、オモリと床とが接触することは無いので、オモリに作用する力ではありませんし、垂直抗力は仕事をしていません。
オモリに働く力(正確には、オモリに働く力で、仕事をするもの)が保存力だけですから、力学的エネルギーEは保存されることが保証されます。

重力による位置エネルギーUを定める、高さの"基準"を床の高さに取ることにして、

手放された瞬間、
 オモリの速度は0ですから、運動エネルギーKは0
 重力による位置エネルギーUはmgh
バネが自然長ですから、
 弾性力による位置エネルギーUkは0
∴ E=0+mgh+0=mgh
で、これがずっと一定に保たれるわけです。

バネの先端が床に達したとき
 運動エネルギーはK'
 U'=mgl
 Uk'=0
 E=K'+mgl+0

∴K'=mgh-mgl=mg(h-l)

バネの縮みがxになったとき、バネからの弾性力は、フックの法則から
 F=kx
と書けます。また力学的エネルギーは、
 K"=0
 U"=mg(l-x)
 Uk"=(1/2)k・x^2
 E=mg(l-x)+(1/2)k・x^2

エネルギー保存則より
∴mgh=mg(l-x)+(1/2)k・x^2
これはxに関する2次方程式です
 k・x^2-2mg・x-mg(h-l)=0

 x=(1/k)・{mg±√(m^2g^2+kmg(h-l)}
x>0ですから 複合は+でなければなりません
 x=(1/k)・{mg+√(m^2g^2+kmg(h-l)}
∴F=kx
 =mg+√(m^2g^2+kmg(h-l)

バネの弾性力とオモリの重力とが釣り合うときのバネの縮みをaとすると
 mg=k・a
ですから
 k=mg/a
これを使うと

 F=mg+mg・√(1+(h-l)/a)
 =mg・(1+・√(1+(h-l)/a))

h=l のときは
 F=mg・(1+・√(1+(l-l)/a)
 =mg・…

投稿日時 - 2012-08-01 12:49:11

ANo.1

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