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数学の問題です。

数学です。
よろしくお願いします。

直線y=mxが放物線y=x^2+1と相異なる2点P,Qで交わるとする。
mがこの条件を満たしながら変化するとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。
また、このとき 、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

投稿日時 - 2012-05-08 22:45:19

QNo.7465444

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回答(1)

ANo.1

直線y=mxが放物線y=x^2+1と相異なる2点P,Qで交わるとする。
>mがこの条件を満たしながら変化するとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。
x^2+1=mxより、x^2-mx+1=0 ……(1) 相異なる2点で交わるから、
判別式D=m^2-4>0より、(m+2)(m-2)>0 
よって、m<-2,2<m …(2)
>また、このとき 、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
P(a,ma),Q(b,mb)とする。
中点M(x、y)とすると、x=(a+b)/2,y=m(a+b)/2 …(3)
a,bは(1)の解と考えることができるから、解と係数の関係より、a+b=m ……(4)
(4)を(3)に代入して、
2x=a+b,2y=(a+b)・(a+b)=(a+b)^2
a+bを消去すると、2y=(2x)^2=4x^2 よって、y=2x^2、
(3)(4)より、m=2x (2)へ代入して、
2x<-2より、x<-1,2<2xより、1<x
よって、中点Mの軌跡は y=2x^2(x<-1,1<x)

投稿日時 - 2012-05-09 05:02:35

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