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解決済みの質問

積分範囲

3重積分でこんな問題があります

D: x^2+y^2+z^2<d^2, x>0, y>0, z>0
∫∫∫(ax+by+cz)dxdydz を求めよ。


積分範囲は通常<=とか>=だと思うのですが、< >だった場合でも同じように計算するのでしょうか。
それともlimをとったりするのでしょうか。

投稿日時 - 2012-02-14 18:16:01

QNo.7305075

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

領域D:は半径dの球の内部でx>0, y>0, z>0の部分ですが、
 D={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<d^2, x>0, y>0, z>0}
等号が入った
領域D':は半径dの球の内部(球面を含む)でx>=0, y>=0, z>=0の部分
 D'={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=d^2, x>=0, y>=0, z>=0}
としても境界面の積分寄与はないので
積分は同じになります。
境界で被積分関数は特異点(極)を持つような場合でなければ、境界面を含まず積分で極限をとる場合と、境界面を含む積分とは同じになるので積分範囲は、境界が含まれていても、含まれて居なくても、同じ積分範囲で積分すれば良いでしょう。

つまり
d>0として
V=∫∫∫[D}(ax+by+cz)dxdydz=∫∫∫[D'}(ax+by+cz)dxdydz
=∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)](ax+by+cz)dz
となります。

球座標での積分なら
V=∫[0,π/2]dθ∫[0,π/2]dφ∫[0,d](arcosφsinθ+brsinφsinθ+crcosθ)(r^2)sinθdr
となります。

前者で積分するなら
V=∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)](ax+by+cz)dz
=∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] axdz
+∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] bydz
+∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] czdz
=a∫[0,d] xdx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] 1dz
+b∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)] ydy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] 1dz
+c∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] zdz
=a∫[0,d] xdx∫[0,√(d^2-x^2)] √(d^2-x^2-y^2) dy
+b∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)] y√(d^2-x^2-y^2) dy
+c∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)] (d^2-x^2-y^2)/2 dy
=a∫[0,d] x (π/4)(d^2-x^2) dx
+b∫[0,d] (1/3)(d^2-x^2)^(3/2) dx
+c∫[0,d] (1/3)(d^2-x^2)^(3/2) dx
=(πa/4)∫[0,d] x(d^2-x^2) dx
+(b/3)∫[0,d] (d^2-x^2)^(3/2) dx
+(c/3)∫[0,d] (d^2-x^2)^(3/2) dx
=(πa/4)(d^4/4)
+((b+c)/3)(3/16)πd^4
=(a+b+c)(d^4)π/16

そのまま丸写ししないで、合ってるかどうかは自身でフローして確かめて下さい。

投稿日時 - 2012-02-14 19:52:52

お礼

自主学習なので理解できるまでじっくり取り組ませて頂きます。
丁寧な回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-02-16 14:29:19

ANo.2

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回答(3)

積分範囲 b>x>a のとき
(I)=∫f(x)dx

積分範囲 b≧x≧a のとき
(II)=∫f(x)dx

(I)=(II)

半直線 a=x b=xは線分なので幅がありません。
つまり、面積には加担しないようです。

投稿日時 - 2012-02-14 21:16:23

お礼

なるほど、面積に加担しないからそのまま積分でいいんですね。
回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-02-16 14:36:37

ANo.1

3重じゃないふつ~の定積分のときに「端は含むのか含まないのか」を考えますか?

投稿日時 - 2012-02-14 18:55:29

お礼

質問を質問で返されるのは私は不快に感じます。
一応回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-02-16 14:14:44