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平面ベクトルと図形

平面上に△ABCがあり、AB=5.BC=aとする。∠Bの二等分線が辺ACと交わる点をD.辺BCを5:2に内分する点をE.BDとAEの交点をF.CFの延長とABの交点をGとする。(1)ベクトルAE=〔ア〕ベクトルAB+〔イ〕ベクトルACである。(2)AD:DC=〔ウ〕:〔エ〕であるから、ベクトルAD=〔オ〕ベクトルACである。(3)ベクトルDE=〔カ〕ベクトルAB+ベクトルACであるから、DE平行ABとなるのはa=〔ク〕のときである。(4)ベクトルAF=〔ケ〕ベクトルAB+〔コ〕ベクトルACである。(5)ベクトルCF=〔サ〕ベクトルCGである。(6)△ABC=2△ABFとなるのは、a=〔シ〕のときである。…という問題です。長々とすいません。本当に分からなくて困ってます。〔ア〕~〔シ〕までの回答をできれば解説つきでよろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-02-11 16:27:57

QNo.7298938

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質問者が選んだベストアンサー

平面上に△ABCがあり、AB=5.BC=aとする。∠Bの二等分線が辺ACと交わる点をD.辺BCを5:2に内分する点をE.BDとAEの交点をF.CFの延長とABの交点をGとする。

>(1)ベクトルAE=〔ア〕ベクトルAB+〔イ〕ベクトルACである。
辺BCを5:2に内分する点をEだから、
AE=(2/7)AB+(5/7)AC …アイ

>(2)AD:DC=〔ウ〕:〔エ〕であるから、ベクトルAD=〔オ〕ベクトルACである。
∠Bの二等分線が辺ACと交わる点をDだから、
AD:DC=AB:BC=5:aより、AD=(5/(5+a))AC …ウエオ

>(3)ベクトルDE=〔カ〕ベクトルAB+[キ]ベクトルACであるから、DE平行ABとなるのはa=〔ク〕のときである。
DE=AE-AD
  =(2/7)AB+(5/7)AC-(5/(5+a))AC
  =(2/7)AB+{(5/7)-(5/(5+a))}AC
  =(2/7)AB+((a-2)/(5+a))AC …カキ
DE平行ABとなるには、DE=(2/7)ABとなればいいから、
(5/7)-(5/(5+a))=0になれば良い。 よって、a=2 …ク

>(4)ベクトルAF=〔ケ〕ベクトルAB+〔コ〕ベクトルACである。
A,F,Dは1直線上にあるから
AF=kAEとおく
AF=(2/7)kAB+(5/7)kAC ……(1)
B,F,Dは1直線上にあるから
BF=lBDとおく
AF-AB=l(AD-AB)
AF=lAD+(1-i)AB
  =(1-i)AB+l×(5/(5+a))AC ……(2)
(1)(2)より係数を比較すると
(2/7)k=1-i,(5/7)k=l×(5/(5+a))
これを解いて、k=7/(7+a),l=(5+a)/(7+a)
AF=7/(7+a)AE ……(3)より、
AF=(2/(7+a))AB+(5/(7+a))AC ……(4)…ケコ

>(5)ベクトルCF=〔サ〕ベクトルCGである。
C,F,Gは1直線上にあるから
CF=mCG,AG=nABとおく
AF-AC=m(AG-AC)
AF=mAG+(1-m)AC
  =mnAB+(1-m)AC
(4)と係数を比較すると
mn=2/(7+a),1-m=5/(7+a)
これを解いて、m=(2+a)/(7+a),n=2/(2+a)
よって、CF={(2+a)/(7+a)}CG …サ

>(6)△ABC=2△ABFとなるのは、a=〔シ〕のときである。
△ABF=(1/2)△ABC ……(5)
BE:EC=5:2より△ABE=(5/7)△ABC
(3)より、△ABF=7/(7+a)△ABE
だから、△ABF=7/(7+a)×(5/7)△ABC
        =(5/(7+a))△ABC
(5)と係数を比較すると
5/(7+a)=1/2 よって、a=3 …シ

答えが違うとかなにかあったらお願いします。

投稿日時 - 2012-02-12 06:52:54

お礼

本当にありがとうございました。すごく助かりました☆

一つ聞いてもいいですか?
DE平行ABとなるためにはDE=2/7ABとなればいいから5/7―5/(5+a)=0 になればよいってあったんですが、その理屈がいまいち理解できませんでした。勉強不足ですいません。問題のヒントにはDE平行ABとなるための条件はベクトルDE=kABを満たす実数Kが存在することっとあったんですが、どういうことなんでしょうか?

投稿日時 - 2012-02-12 17:14:59

ANo.2

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回答(3)

ANo.3

参考: 数学Aの平面図形の定理を使って比の計算 
(4)△AECに直線BDが交わっていると見てメネラウスの定理 (AF/FE)(EB/BC)(CD/DA)=1より
   (AF/FE)(5/7)(a/5)=1 これより AF/FE=7/a が使えます。
(5)チェバの定理 (AG/GB)(BE/EC)(CD/DA)=1 より (AG/GB)(5/2)(a/5)=1 これよりAG/GB=2/a

また,△GBCに直線AEが交わっていると見てメネラウス定理 (CF/FG)(GA/AB)(BE/EC)=1 より
  (CF/FG)(2/a+2)(5/2)=1 これより CF/FG=(a+2)/5 が使えます。

穴埋め問題なら使い慣れると便利ですよ。

投稿日時 - 2012-02-12 10:58:51

お礼

お忙しいなか答えて下さりありがとうございました。

投稿日時 - 2012-02-12 17:07:19

まずは図をかきましょう。

投稿日時 - 2012-02-11 22:53:13

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