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数学B平面ベクトルの問題。得意な方お願いします。

AB=3、BC=2、CA=4である△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。また、△ABCの内接円と辺BCとの接点をEとする。ABベクトル=bベクトル、ACベクトル=cベクトルとするとき、AEベクトルをbベクトル、cベクトルで表せ。

よろしくお願いしますm(__)m

投稿日時 - 2012-02-02 19:16:53

QNo.7281478

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

AE=(AB+BC-CA)/2=1/2
BE=(BC+CA-AB)/2=3/2

AEベクトル=(3/4)bベクトル+(1/4)cベクトル

投稿日時 - 2012-02-03 04:42:34

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

AB=3、BC=2、CA=4である△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。また、△ABCの内接円と辺BCとの接点をEとする。ABベクトル=bベクトル、ACベクトル=cベクトルとするとき、
>AEベクトルをbベクトル、cベクトルで表せ。
内心Iは角の二等分線の交点です。
|b|=3,|c|=4とする。

内心Iを通るADは、角Aの二等分線だから、BD:DC=3:4より、
AD=(4/7)AB+(3/7)AC
  =(4/7)b+(3/7)c
CIを通る直線を引き、ABとの交点をFとする。
CFは角Cの二等分線だから、AF:FB=4:2=2:1
CF=(1/3)CA+(2/3)CB
  =(1/3)(-c)+(2/3)(b-c)
  =(2/3)b-c
A,I,Dは1直線上にあるから、
AI=kAD
  =(4/7)kb+(3/7)kc ……(1)
C,I,Fは1直線上にあるから、
CI=lCFより、AI-AC=lCF
AI=lCF+AC
  ={(2/3)lb-lc}+c
  =(2/3)b+(1-l)c ……(2)
(1)(2)の係数を比較して
(4/7)k=(2/3)l,(3/7)k=1-l
k=7/9,l=2/3
よって、AI=(4/9)b+(1/3)c ……(3)
B,E,Dは1直線上にあるから、
BE=mBCより、AE-AB=m(AC-AB)
AE=(1-m)b+mc
内接円の半径IEはBCと垂直だから、IE・BC=0
(3)より 
IE=AE-AI
  ={(1-m)b+mc}-{(4/9)b+(1/3)c}
  =(-m+5/9)b+(m-1/3)c
BC=c-b
余弦定理より、cosA=(3^2+4^2-2^2)/2×3×4=7/8
内積b・c=|b||c|cosA=3×4×(7/8)=21/2
IE・BC
={(-m+5/9)b+(m-1/3)c}・(c-b)
=(-2m+8/9)(b・c)-(-m+5/9)|b|^2+(m-1/3)|c|^2
=(-2m+8/9)×(21/2)-(-m+5/9)×3^2+(m-1/3)×4^2
=0
これを解いてm=1/4,1-m=3/4
よって、AE=(3/4)b+(1/4)c

長くなりましたが、図を描いて考えてみて下さい。

投稿日時 - 2012-02-03 02:51:46

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