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解決済みの質問

積分の計算

基本的な計算だと思いますが、分からないので教えてください
本来は定積分ですが、積分範囲の部分ははぶきます

∫cos2θ・(-sinθ)dθという式で
答えを見るとcos2θの部分を(2cos^2θ-1)と変形し、-sinθを(cosθ)'と変形して∫(2cos^2θ-1)・(cosθ)'dθと書き換えてましたが、その後がわかりません。

出来るだけ詳しく書いていただけると助かります。

投稿日時 - 2011-12-18 18:13:54

QNo.7196925

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

これは「置換積分のテクニックを使える」ということです。
なぜ「置換積分を使える」と素直に言わないかというと、置換することなく計算できるから。

あえて t=cosθと置いてみると、dt/dθ=-sinθ つまり dt=-sinθdθ
これとt=cosθを  ∫(2cos^2θ-1)・(-sinθ)dθ  に代入すると
  ∫(2t^2-1)dt ・・・(A)
となって超簡単に積分できる。

ここで(A)をじっくり見ると、t つまりcosθ を変数だと思って積分していいことを示している。
別に 2cos^2θ-1 に限らず、もし
  ∫(f(θ)の式)f'(θ)dθ
という形をしていたら、f(θ)を一つの変数だと思って(f(θ)の式)を積分すればいいことを意味している。

こうすることのメリットは、tに置き換えて積分した後で、θに戻す手間が要らないこと。
特に本問は定積分だったので、置換をすると、上辺と下辺をθからtに換算する必要がある。この手間が要らないのはウレシイはず。

投稿日時 - 2011-12-18 18:56:03

お礼

ありがとうございました。
なるほどcosθで1つの積分変数として見るという意味があって、こういう書き方をしているんですね。

投稿日時 - 2011-12-18 20:22:52

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回答(2)

ANo.2

積分公式
∫f(g(t))g'(t)dt=F(g(t))+C
ここで
∫f(x)dx=F(x)+C'

この公式を適用して
f(x)=2x^2-1, g(t)=cos(t),t=θ
とおけば
F(x)=∫(2x^2-1)dx=(2/3)x^3-x+C''
F(g(t))=(2/3)g^3(t)-g(t)+C''
=(2/3)cos^3(t)-cos(t)+C''
なので
∫(2cos^2θ-1)(cosθ)'dθ=F(g(θ))+C
=(2/3)cos^3θ-cosθ+C'''
となります。

投稿日時 - 2011-12-18 19:54:17

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2011-12-18 20:16:48