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対角線論法による全単射有無の証明について

以下、Wikipediaの対角線論法の項目です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95#.E8.87.AA.E7.84.B6.E6.95.B0.E3.81.AE.E9.9B.86.E5.90.88.E3.81.A8.5B0.2C_1.5D.E5.8C.BA.E9.96.93.E3.81.AE.E6.BF.83.E5.BA.A6.E3.81.AE.E9.81.95.E3.81.84

こちらをみていて思ったのですが、RをQ(有理数)と読み変えてもこの証明が可能なように思えてしまいます。はて、自然数は有理数に対して全単射のはず…。
(例えば、全ての有理数をp/qの形で表し、(p,q)なる数字の組み合わせとして番号付加すると、自然数と1対1対応できてしまいます。)

Wikipediaの証明が、Q(有理数全体)では成り立たないことを教えてください。

投稿日時 - 2011-10-09 22:53:28

QNo.7061675

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回答(3)

ANo.3

>RをQ(有理数)と読み変えてもこの証明が可能なように思えてしまいます。


「aiを二進数展開したときのj桁目をai,jとし[3]、biを¬ai,iとする。
 そしてbを小数点展開が0.b1b2…となる実数とする。」

この最後の「実数とする」を「有理数とする」と読み替えてもいいんならね。

bは有理数?

投稿日時 - 2011-10-10 01:35:22

ANo.2

集合論ちゃんとやってみようかな?

でもここの質問に答えるために集合論をやるっていうのはおかしいか^^;

不完全性定理でここ使う? 使った覚えがない^^;

 #どんどんと自信が無くなっていくんだけど。

代数学屋さんには、(例えば・・・)のところが怪しく見えます。

(2/5)と(4/10)のときは、等しいけど。

有理数を自然数だけで一意的に決められるかなぁ?

自信ないけど、一応。 だからベストアンサーはつけないで。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

投稿日時 - 2011-10-10 00:56:50

ANo.1

対角線論法で「Q と Z の濃度が異なる」といおうとした場合, 証明はどのような概形になるでしょうか?

実際に書いてみると「あやしいところ」に気付くかもしれませんよ.

投稿日時 - 2011-10-09 23:26:46

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