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解決済みの質問

フーリエ展開 微分方程式の一般解

y''+y=f(x)という微分方程式の一般解を求める。
ただし、f(x)=x^2 (-π<x≦π) f(x+2π)=f(x)であるとする。

上記のような問題なのですが、まずf(x)をフーリエ展開すると、f(x)=π^2/3+4Σ(-1)^n/n^2となりました。

この後、係数比較を行うために、yn=Acosnx+Bsinnxとおき、yn'+yn=4(-1)^n/n^2となり、AとBの値を求めることができました。
しかし、この問題の解答はy=c1cosx+c2sinx+(π^2/3)+2xsinx+4Σ[2→∞]{(-1)^n/(1-n^2)n^2}cosnxとなるようで、四つ目の項の2xsinxの出所がよくわかりません。

4Σ[2→∞]{(-1)^n/(1-n^2)n^2}cosnxの部分は、nが2以上のときの場合を表していて、π^2/3はn=0のときの場合を表している。つまり、2xsinxという部分はn=1のときの場合を求めているのではないかというところまで推測できたのですが、何故このような2xsinxという値が出てくるのかわかりません。
n=1のとき、1-n^2が0になってしまうため、別に求めなければいけないというのはなんとなくわかるのですが、上手く2xsinxの値まで辿り着きません。

長くなりましたが、この問題についてわかる方、ご教授お願いします。

投稿日時 - 2011-07-21 21:14:17

QNo.6890756

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質問者が選んだベストアンサー

y のフーリエ級数 y = (a_0)/2 + Σ[n=1→∞]{ (a_n)cos(nx) + (b_n)sin(nx) } を
与式へ代入してみると、左辺の n=1 項は、a_1, b_1 の値によらず相殺して消える
ことが確かめられます。
一方、右辺のフーリエ級数 x^2 = (π^2)/3 + 4Σ[n=1→∞]{ (1/n^2)(-1)^n }cos(nx) は、
n=1 項の係数が 0 でありませんから、
y をフーリエ級数にして与式へ代入しただけでは、この微分方程式の解にはなりません。

単純にフーリエ級数を代入しても解けない方程式を、無理やり解くためのギミックとして、
ここでは x sin x を利用しています。
w = x sin x と置くと、w'' + w が cos x の定数倍となりますから、係数を上手く選んで
y = z + 2w で変数変換すると、z'' + z = (π^2)/3 + 4Σ[n=2→∞]{ (1/n^2)(-1)^n }cos(nx)
となって、先ほど障害となっていた右辺の n=1 項が消えるのです。
あとは、z = (a_0)/2 + Σ[n=1→∞]{ (a_n)cos(nx) + (b_n)sin(nx) } を代入して
係数比較すれば、解が求まります。

つまらぬ小細工です。もともと、A No.1 のようにすれば簡単に解ける方程式を、
明らかに筋の悪いフーリエ級数で解こうとするから、
フーリエ級数の代入では解けない方程式 y'' + y = x^2 を
フーリエ級数の代入で解ける方程式 z'' + z = x^2 + 4 cos x にすり替える必要が生じたのです。
y'' + y = x^2 が素直にフーリエ級数で解けなかった元凶は、
解 y のフーリエ級数が -π<x<π で一様収束しないことにあります。

投稿日時 - 2011-07-23 00:40:41

お礼

解けました。ありがとうございます。
本来はフーリエ展開で解くべきではない問題なのですね。
丁寧にありがとうございました。

投稿日時 - 2011-07-23 02:09:37

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回答(3)

ANo.2

まず、
y''+y=f(x)…(1)という微分方程式の一般解を求める。
この一般解yは
斉次方程式y''+y=0 …(2)の一般解 ya=c1cos(x)+c2sin(x) …(3)
と(1)の特解ybの和で与えられますね。
これをまずしっかり頭に入れてください。

>2xsin(x)という部分はn=1のときの場合を求めているのではないかというところまで推測
>できたのですが、何故このような2xsin(x)という値が出てくるのかわかりません。

もし ybに(3)の一般解と同じ周波数成分、つまりcos(x)やsin(x)の項が含まれていれば
ybにxcos(x)やxsin(x)の項を含めないといけません。これは最初からこの項を含めてybを仮定するか、
yb= … +a1'(x)cos(x)+ … +b1'(x)sin(x)+ … といった定数変化法でybを求めなければならないですね。
このような理由から、cos(x)やsin(x)の周波数成分の係数だけ 係数にxを掛けた
xcos(x)やxsin(x)の項が現れるのです。

「f(x)=a0+a1cos(t)+a2sin(2t)+a3sin3t+ …
       +b1sin(t)+b2sin(2t)+b3sin(3t)+ …」… (4)の形から
特解を yb=a0'+a1'tcos(t)+a2'sin(2t)+a3'sin3t+ …
       +b1'tsin(t)+b2'sin(2t)+b3'sin(3t)+ … (5)
とおいて、(1)に代入して係数a0',an',bn'(n=1,2,3,…)を決めることになります。

この場合(1)の線形性から周波数成分ごとに特解を求めて、求めた特解の総和を取れば(1)の特解ybが得られます。

投稿日時 - 2011-07-21 23:50:12

お礼

丁寧にありがとうございます。
無事解くことが出来ました。

投稿日時 - 2011-07-23 02:10:40

ANo.1

なぜ、フーリエ展開する?
y = x^2 - 2 が解のひとつであることは普通気がつくから、
y = x^2 - 2 + u で変数変換すれば
与式は u'' + u = 0 となって、
定係数線型微分方程式に帰着される。後は、型どおりの処理。
要するに、λ^2 + λ = 0 を解いて e^(λx) を線型結合し、
三角関数で書きたければ、最後にオイラーの式を使えばよい。

投稿日時 - 2011-07-21 22:10:37

補足

すみません。
説明不足でした。
問題はフーリエ展開にて解くように指定されています。

投稿日時 - 2011-07-22 00:04:42

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