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1.(Q,+),(R,+),(C,+)は群になることを示してください。
2,Gを群とすると、次の写像は全単射であることを示してください。
(1)f:G→G,x→x^-1
(2)g:G→G,x→ax (ただし、a∈G)
(3)h:G→G,x→xa (ただし、a∈G)

投稿日時 - 2011-01-31 02:22:08

QNo.6487234

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質問者が選んだベストアンサー

1.
Z=(全整数)
N=(全自然数)
(a,b)∈Z×N
[(a,b)]={(x,y)∈Z×N|xb=ya}
Q={[(a,b)]|(a,b)∈Z×N}
とQを定義する
+:Q×Q→Q,[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]
と+を定義する
{[(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]}⊂Qとする
([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]
[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]
結合法則が成立
[(0,1)]+[(a,b)]=[(a,b)]=[(a,b)]+[(0,1)]
[(0,1)]は単位元
[(-a,b)]+[(a,b)]=[(-ab+ba,b^2)]=[(0,1)]
[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^2)]=[(0,1)]
[(-a,b)]は[(a,b)]の逆元
∴(Q,+)は可換群
直積
(Q^N,+)は可換群
P={f∈Q^N|∀ε>0∈Q→∃n_0∈N(m,n>n_0→|f(m)-f(n)|<ε)}
{f,g}⊂Pとすると
|f(m)+g(m)-{f(n)+g(n)}|≦|f(m)-f(n)|+|g(m)-g(n)|だから→f+g∈P
だからPはQ^Nの部分群
f∈Pに対して
[f]={g∈P|∀ε>0∈Q→∃n_0∈N(n>n_0→|g(n)-f(n)|<ε)}
とすると
[0]={g∈P|∀ε>0∈Q→∃n_0∈N(n>n_0,→|g(n)|<ε)}
{f,g}⊂[0]とすると
|f(n)+g(n)|≦|f(n)|+|g(n)|だから→f+g∈[0]
だから[0]はPの正規部分群となり
剰余群
R=P/[0]
とRを定義すると
(R,+)は群になる
直積
C=R^2
とCを定義すると
(C,+)も群になる。
2
(1)
f:G→G,f(x)=x^{-1}
∀y∈G→∃y^{-1}∈G→f(y^{-1})=y→fは全射
{a,b}⊂G,f(a)=f(b)とすると
a^{-1}=f(a)=f(b)=b^{-1}→a=f(a^{-1})=f(b^{-1})=b→a=b→fは単射
→fは全単射
(2)
a∈G
g:G→G,g(x)=ax
∃a^{-1}∈G
∀y∈G→g(a^{-1}y)=aa^{-1}y=y→gは全射
{x,y}⊂G,g(x)=g(y)とすると
ax=g(x)=g(y)=ay→x=a^{-1}ax=a^{-1}ay=y→x=y→gは単射
→gは全単射
(3)
a∈G
h:G→G,h(x)=xa
∃a^{-1}∈G
∀y∈G→h(ya^{-1})=ya^{-1}a=y→hは全射
{x,y}⊂G,h(x)=h(y)とすると
xa=h(x)=h(y)=ya→x=xaa^{-1}=yaa^{-1}=y→x=y→hは単射
→hは全単射

投稿日時 - 2011-02-04 14:01:15

お礼

ありがとうございます。
助かりました。

投稿日時 - 2011-02-04 23:31:20

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回答(2)

ANo.1

d_p

群と全単射の定義をチェックするだけじゃん。

投稿日時 - 2011-02-04 07:11:17

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