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解決済みの質問

図形と計量

よろしくお願いします
円に内接する四角形ABCDがある AB=4 BC=5 CD=7 DA=10のとき、sinAとこの四角形ABCDの面積を求めよの問題で
解答中 
四角形ABCDは円に内接するからC=180°-A
△ABDにおいて余弦定理より BD^2=116-80cosA…(1)
△BCDにおいて余弦定理より BD^2=74+70cosA …(2)   
(1)(2)より116-80cosA=74+70cosA 
ゆえにcosA=7/25
となっていますが(1)(2)から求まるcosA=7/25は必ず答えにしてよいのでしょうか?
ここでの論理の流れの理解がすっきりしません
この問題では BD>0、-1<cosA<1のもとで
 (1)かつ(2)⇔cosA=7/25かつBD^2=468/5⇔cosA=7/25かつBD=√(468/5)
とするのが正しいような気がするのですがどうしてBD存在には触れずに解答してしまっているのですか?煩雑さを回避するためですか?
もしくわ
(1)かつ(2)からもとまる必要条件によってcosA=7/25に絞る
そして図形を描くと1つ存在することがわかる、だからこれを答えとしているのですか?
つまり必要条件から1つにしぼることができ、かつ内接四角形を書いてみると確かに四角形は固定されていてこれをみたすcosAは1つ、だからそのcosAはcosA=7/25となるのですか?

もしかするとこうゆうsinやcosや面積などを求めるときは
証明の問題と同様に一方通行の議論でこたえをしぼっていくのですか?
だとしてもそのでてきた値が本当に題意を満たすのかの確認はどの段階で行えばよいのでしょう?
                                                          
ちょっと混乱しています、どなたかよろしくお願いします。                     

投稿日時 - 2011-01-20 21:11:52

QNo.6462560

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

質問をまとめると、"BDの存在に触れずに,cosAを確定させてるのはおかしい"と,いうことでしょうか.

そうであれば,いまの場合,図を書いてみるとBDもcosAも確かに1つだけ存在していることが明らかなので,BDは線分の長さで負になることは無く,cosAも実数の範囲で話をしている限りcosの定義から|cosA|>1,となることはないので,BD>0、-1<cosA<1となることは明らか(自明)なので " BD>0、-1<cosA<1のもとで"と,する必要はありません.もちろん,書いても問題ありません.

例えば,他の例を出すと,底辺が2で面積が4である三角形の高さを求めよ,と言われて"高さをxとするとx>0のもとで"とは書かないですよね.これも,同じで書いても良いのですが絶対に正になることが分かっているので,書く必要がないのです.

しかし、"1/√2<cosA<1の範囲で"とか"BD<20で"とか指定された場合は,このようなBDやcosAが存在することが,図を書いてみると20近くに見えても,もしかしたら20.1とか19.9とかしれないですし,見るだけでは明らかではないので,こういう場合は"1/√2<cosA<1,BD<20のもとで"のように、明示する方が良いでしょうね.


その条件が分かりきっている(自明な)ことかどうか書かないと,この答案を読んでる人が分からないことなのかどうか,しっかり判断する必要があります.

投稿日時 - 2011-01-22 17:34:40

お礼

遅くなりましたが
ありがとうございます!

投稿日時 - 2011-01-26 00:11:09

ANo.1

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