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平面のベクトル方程式でわからないことが。。。。

平面のベクトル方程式でわからないことが。。。。

3点A(1,-1,0)B(3,1,2)C(3,3,0)を通る平面の方程式を求めよ

という問題で、求める法線ベクトルをnベクトル=(a,b,c)とすると、
nベクトルとABベクトルは垂直だからnベクトル×ABベクトル=0
ゆえに2a+2b+2c=0(1)

nベクトルとACベクトルも垂直であるから
nベクトル×ACベクトル=0ゆえに
2a+4b=0・・・(2)

(1)と(2)よりnベクトル=b(-2,1,1) nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない

ゆえに求める平面は点A(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直は平面であるので

2x-y-z-3=0である。

という解説があったのですが、

[(1)と(2)よりnベクトル=b(-2,1,1) nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない
ゆえに求める平面は点A(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直は平面である。]
の部分がわかりません。
まず、
「(1)と(2)よりnベクトル=b(-2,1,1)」という式は理解できます。
「nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」・・・これもわかります。

「ゆえに求める平面は点A(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直は平面である。]・・・
これが理解できません。nベクトル=b(-2,1,1)なのに、なんでbが消えているんでようか?
それと「ゆえに」とありますが、前文の「nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」
とこのことは関係があるのでしょうか?

もしかして、「3点A,B,Cが一直線上にあるときACベクトル=KABベクトルとなる実数Kがある」
という基本事項がありますが、nベクトル=b(-2,1,1)もその形なので、(-2,1,1)と垂直といえるってことですか?そのために、bが0だとこの式が成り立たないので、b=0ではないってことを
いっているんでしょうか?

投稿日時 - 2010-09-29 19:24:57

QNo.6216571

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質問者が選んだベストアンサー

こんばんわ。

b≠ 0であることは、平面が平面として存在するために必要な条件ですね。
このまま bを消さなくても、平面の方程式を求めることができます。

以下で bを消さない場合の解答(の書き方)を記しておきます。
-----------------------------------------
(1)と(2)より n→の成分は b* (-2, 1, 1)(b:定数)と表される。
n→は 0→ではないから、b≠ 0である。

法線ベクトル:n→= (-2b, b, b)(b≠ 0)より、この平面の方程式は
-2bx+ by+ bz+ d= 0

と表される。

そして、この平面は点A(1, -1, 0)を通るから
-2b- b+ 0+ d= 0
d= 3b

求める平面の方程式は、
-2bx+ by+ bz+ 3b= 0
-2x+ y+ z+ 3= 0(∵ b≠ 0)
-----------------------------------------

ベクトルの大きさだけを握っている bの値には関係ないことがわかると思います。
あくまでも「方向=成分の値の比」だけが重要なので、b= 1とおいても構わないということになります。

ベクトルの定数倍は「平行」という意味になりますね。

投稿日時 - 2010-09-29 21:16:13

お礼

別の解答までおしえていただきありがとうございました。
おかげで理解が深まりました。

投稿日時 - 2010-10-01 16:06:53

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回答(3)

 点A(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直 ⇒2x-y-z-3=0
 点A(1.-1,0)を通りb(-2,1,1)に垂直(b≠0)⇒bが消えて2x-y-z-3=0
b=0としたら 平面の方程式は無数にあって矛盾。

投稿日時 - 2010-09-29 20:39:42

お礼

そいういうことですね。よくわかりました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2010-10-01 16:05:39

>nベクトル=b(-2,1,1)なのに、なんでbが消えているんでようか?

いまの場合、法線ベクトルは方向だけが問題で、大きさは 0 以外なら何であってもかまいません。そもそも、その大きさ(よって b の値)は求められません。よって簡単のために b = 1 としたのでしょう。

>「ゆえに」とありますが、前文の「nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」とこのことは関係があるのでしょうか?

nベクトルは0ベクトルではない → b=0 ではない → b=1 としてもよい

という流れでしょう。

投稿日時 - 2010-09-29 20:36:02

お礼

なるほど!!そういうことか!!わかりやすい説明ありがとうございました。

投稿日時 - 2010-10-01 16:04:47

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