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Cr(a)を中心a、半径rの円の内部、γをその円周とするφ(z)をγ上

Cr(a)を中心a、半径rの円の内部、γをその円周とするφ(z)をγ上で連続な関数とし、ζ∈Cr(a)に対し、f(ζ)=∫_(γ) φ(Z)/(Z-ζ)dzとおけば、f(ζ)はCr(a)において正則な関数で、 f'(ζ)=∫_(γ) φ(Z)/(Z-ζ)~2 dzとなることの証明で、等式1 /(z-ζ-Δζ) - 1/(z-ζ) = Δζ /(z-ζ-Δζ)(z-ζ) まで分かるんですが・・・
{f(ζ+Δζ)}-{f(ζ)}/Δζ - ∫_γ {φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz=Δζ*∫_γ{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}/φ(z)dz・・・(*)が得られる。
0<p<rを固定。z∈γ;ζ,ζ+Δζ∈Cp(a)ならば、|z-ζ|,|z-ζ-Δζ|>r-pとなり、|φ(z)|(z∈γ)は有界。よって、ある(ζ、Δζに無関係な)正定数kがあって、式(*)の右辺の絶対値は≦k|Δζ|である。よってf(ζ)はCr(a)において正則で、f'(ζ)=∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dzが成立する。
からが分かりません!!
細かい解説、よろしくお願いします(/_;)

投稿日時 - 2010-09-23 22:22:10

QNo.6203497

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回答(1)

ANo.1

f(ζ)=∫_γφ(z)/(z-ζ)dz
f(ζ+Δζ)=∫_γφ(z)/(z-ζ-Δζ)dz
{f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ=∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)}dz
{f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ-∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz=Δζ∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}dz…(*)
0<p<rを固定。z∈γ;ζ,ζ+Δζ∈Cp(a)ならば、|z-ζ|,|z-ζ-Δζ|>r-pとなり
γはコンパクトでφ連続だから|φ(z)|(z∈γ)は有界だから∃K1(|φ(z)|<K1)
|∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}dz|<2πrK1/(r-p)^2
k=2πrK1/(r-p)^2とすると式(*)の右辺の絶対値
|Δζ∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}dz|≦k|Δζ|
だから
∀ε>0に対して、∃δ=ε/k
0<|Δζ|<δ→|{f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ-∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz|≦k|Δζ|<ε
だから
f'(ζ)=lim_{Δζ→0}f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ=∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz

投稿日時 - 2010-09-25 03:40:01

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