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解決済みの質問

微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。

微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。
1.(1+x^2)y´+2x(1+y)=0
2.2yy´+logx+1=0
3.2x+y+(x-2y)y´=0

投稿日時 - 2010-06-02 11:21:34

QNo.5939213

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質問者が選んだベストアンサー

1. (1+x^2)y´+2x(1+y)=0

これを移項して変形すると

(1+x^2)y´=-2x(1+y)
y´/(1+y)=-2x/(1+x^2)

変形すると

dy/(1+y)=[-2x/(1+x^2)]dx

積分定数を C として,これを積分すると

∫[1/(1+y)]dy=∫[-2x/(1+x^2)]dx +C

この積分を計算すると

log(1+y)=-log(1+x^2) +C
log(1+y)+log(1+x^2)=C
log[(1+y)(1+x^2)]=C

(1+y)(1+x^2)=exp(C) ・・・ 1の一般解.


2. 2yy´+logx+1=0

この式を変形すると

(y^2)´+logx+1=0
(y^2)´=-logx -1

積分定数を C として,これを積分すると

y^2=∫(-logx -1)dx+C

y^2=-1/x -x+C ・・・ 2の一般解.



3. 2x+y+(x-2y)y´=0

この式を変形すると

(xy+x^2-y^2)´=0

積分定数を C として,これを積分すると

xy+x^2-y^2=C ・・・・・ 3の一般解

以上です.

投稿日時 - 2010-06-03 16:16:20

お礼

詳しく教えていただきありがとうございます。

投稿日時 - 2010-06-04 22:26:19

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回答(4)

ANo.3

ヒントです。

(1) y'/(1+y)=-(1+x^2)'/(1+x^2)

(2) (y^2)'=-(logx+1)

(3) (xy+x^2-y^2)'=0

投稿日時 - 2010-06-02 18:11:56

2なんか、2yy'=(y^2)'に気付けよ!!

投稿日時 - 2010-06-02 18:06:47

いずれも変数分離型です。
3. は y = x t で変数を変えるとわかりやすいでしょう。
あとは御自分でどうぞ。

投稿日時 - 2010-06-02 12:17:42

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