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数学の積分?面積?に関する問題なのですが・・・

数学の積分?面積?に関する問題なのですが・・・

放物線C:y=x^2上の点A(a, a^2), B(b, b^2) をとる。ただし、b<0<aとする。

(1)放物線Cの点Aにおける接線と点Bにおける接線の交点の座標を求めよ。
(2)放物線Cと直線ABで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(3)三角形OABの面積をTとするとき、T/Sがとりうる値の最大値を求めよ。ただしOは原点(0, 0)である。


積分というものが正直よくわかりません。
なのでどなたか解説お願いします。

投稿日時 - 2010-05-24 23:56:22

QNo.5919699

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質問者が選んだベストアンサー

(1)y=x^2を微分するとdy/dx=2xなので、A、Bにおける接線の傾きはそれぞれ2a、2bです。従って二本の接線の式はそれぞれy=2ax+α、y=2bx+βと表されます。これらの接線は当然ながらA,Bを通るのでこれらの式にA、Bの座標をそれぞれ代入するとα、βを求めることができます。二本の接線の式が判ったら両者を等しいとおくと交点の座標が判ります。
(2)ABの傾きは(a^2-b^2)/(a-b)=a+bなのでABの式はy=(a+b)x+γと表され、これがAを通ることからAの座標を代入するとγ=-abとわかります。面積を求める領域ではABのほうがCよりも上にあるので、ABの式からCの式を引いた(a+b)x-ab-x^2をbからaまで積分すればSが求められます。
(3)上記の結果より、ABのy切片は-abです。ABとy軸の交点をDとすると三角形DOBとDOAの面積はそれぞれ-ab^2、-a^2bなので(ODを底辺と考える)三角形OABの面積Tは-ab(a+b)で与えられます。

投稿日時 - 2010-05-25 00:30:59

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

この問題で積分を利用するのは(2)のみです。積分の基礎ができている人なら、(2)は大して難しい問題ではありません。自力で解けるはずです(多少計算は面倒ですが)。しかしもし質問者さんが積分の計算そのものをよく理解されていないようなら、これを解くのは無理と言わざるを得ません。厳しいですが。
基礎がわからないのであれば、教科書を読んで独学されることを勧めます。
一応ヒントだけ与えておけば、(1)は微分、(2)は積分、(3)は相加相乗平均の関係を使います。

投稿日時 - 2010-05-25 00:21:42

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