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数学の問題なのですが、教えてください。

数学の問題なのですが、教えてください。

a>0とする。座標平面において、2点(a , 0),(2a+1 , 0)から放物線y=x^2に引いた接線でx軸と異なるものをそれぞれl1,l2とする。

(1)l1とl2の方程式を求めよ。
(2)この放物線とl1,l2で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(3)Sがl1,l2およびx軸で囲まれる部分の面積に等しくなるようなaの値を求めよ。

積分というものが正直よくわかりません。
どうか解説お願いします。

投稿日時 - 2010-05-24 23:55:05

QNo.5919693

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(1)l1、l2と放物線との接点をA(m、m^2)、B(n,n^2)とすると、l1、l2の傾きはそれぞれm^2/(m-a)、n^2/(n-2a-1)となります。一方、y=x^2をxで微分するとdy/dx=2xですからl1、l2の傾きはそれぞれ2m、2nでもあります。これらから
m^2/(m-a)=2m
n^2/(n-2a-1)=2n
であり、これを解くと(m、nの二次方程式です)接点の座標が判ります。接線の条件としてx軸と異なるとあります。x軸とこの放物線の接点は原点なので、0ではない方が解です。以上より二本の接線の式はy=2mx+α、y=2nx+βと表され、これらが(a , 0),(2a+1 , 0)を通ることを利用すれば接線の式が求められます。
(2)まず図を書きましょう。放物線を描き、x軸上の適当な二点(これらが(a , 0),(2a+1 , 0)です)からこの放物線に接線を引きます。接点は上記のAおよびBです。l1とl2の交点をC(p、q)とすると、求める面積は
mからpまでの区間:放物線とl1の間
pからnまでの区間:放物線とl2の間
であることが判ります。放物線はl1、l2より上にあるので
(放物線の式-l1の式)をmからpまで積分したもの
(放物線の式-l2の式)をpからnまで積分したもの
の和が求める面積です。
(3)l1、l2およびx軸で囲まれる部分は三角形であり、x軸上の、2点(a , 0),(2a+1 , 0)を結ぶ線分を底辺と考えると高さは上記のqになります。これらから三角形の面積が判り、これを(2)で求めたSと等しいとおくと条件を満たすaの値が判ります。

投稿日時 - 2010-05-25 20:22:26

ANo.1

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