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△ABCの内角をABCとするとき,以下を説明せよ。

△ABCの内角をABCとするとき,以下を説明せよ。
(1)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(2)sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=4sinAsinBsinC
(3)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

(1)ですが,
 sinA+sinB+sinC
=sinA+sinB+sin(π-(A+B))
=sinA+sinB+sin(A+B)
=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB
=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)
=4sin(A/2)cos(A/2)cos^2(B/2)+4sin(B/2)cos(B/2)cos^2(A/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2)+cos(A/2)sin(B/2))
=4cos(A/2)cos(B/2)sin((A+B)/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).

のようなことを調べたのですが,
sinA+sinB+sin(π-(A+B))
=sinA+sinB+sin(A+B)
のところがどうしてそうなるのか分かりません。教えてください。

投稿日時 - 2010-05-13 15:51:51

QNo.5892341

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#1です。すみません。画像添付に失敗しました。

(使いにくくなったなぁ・・・)

投稿日時 - 2010-05-13 17:16:23

補足

図でなんとなく分かってきました。(πー(A+B))も(A+B)もsinの値が変わらないってことですよね。

投稿日時 - 2010-05-13 17:58:37

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回答(2)

ANo.1

問題になるのは、sin(π-(A+B))とsin(A+B) ですよね?

加法定理を使ってもいいけど、AもBも三角形の内角なので、A+Bは180°以下。

だから下図により、sin(π-(A+B))=sin(A+B) なのは明らか。

投稿日時 - 2010-05-13 17:14:42

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