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連立微分方程式

この微分方程式が解けません。
ご教授願います。

kは正の定数とする

{x1}" = d(2){x1}/dt(2)
{x2}" = d(2){x2}/dt(2)

として、

連立微分方程式
_
| {x1}" = -k{x1}-k({x1} - {x2})
<
|_{x2}" = -k({x2} - {x1})-k{x1}

の一般解を求めよ。


どうしても解けません。

解き方を教えてもらいたいです。

よろしくお願いします

投稿日時 - 2009-07-25 18:29:32

QNo.5154822

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回答(5)

ANo.5

No4.の方の解法を知っておくほうがよいと思います。
ポイントは、問題自体は「2階」の微分方程式であるにもかかわらず、
変数を変換していくと、
本質的に解くべき微分方程式が、x'=Ax の「1階」の微分方程式になっていることです。
ジョルダン標準形を使って求めてもいいんですが、
一発で、x'=Axの解はx=exp(A)*x[0]としてしまうのが早いと思います。
exp(A)は遷移行列と呼ばれるものです。逆ラプラス変換を用いることで、
機械的に求めることができます。
知らなかったら一度遷移行列に関して勉強されるとよいかと思います。

線形の微分方程式なら、この手法で、1階の微分方程式まで微分方程式を簡単(微分方程式の解法が明確になるという意味で)にできるので、一度勉強されるとよいと思います。物理学に関連しますが「状態方程式」で調べるとよいかと思います。

投稿日時 - 2009-07-26 01:54:05

お礼

そうですか。
ありがとうございます!
どっちも勉強してみます。

投稿日時 - 2009-07-26 09:45:35

ANo.4

一般に
{x1}"=a{x1}+b{x2}
{x2}"=c{x1}+d{x2}
の場合には
{x1}'={x3}
{x2}'={x4}
{x3}'=a{x1}+b{x2}
{x4}'=c{x1}+d{x2}
とすると
x=
[x1]
[x2]
[x3]
[x4]
とおき
A=
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
[a b 0 0]
[c d 0 0]
とおく。
すると方程式は
x'=Ax
となる。
Jをジョルダン標準形,Pを正則行列として
P^-1AP=J
となるとする。
x=Pyと変数変換すると方程式は
y'=Jy
となり
解は
y(t)=exp(Jt)y(0)
と一気に求まる。
結局
x(t)=Pexp(Jt)P^-1x(0)
となる。
exp(Jt)は規則的な簡単な行列になることに注意。

投稿日時 - 2009-07-25 22:21:34

お礼

なるほど~。
ありがとうございます。

投稿日時 - 2009-07-26 09:43:54

ANo.3

2式を辺々足したものと
2式を辺々引いたものは
どうなる。

投稿日時 - 2009-07-25 20:31:57

ANo.2

カット&ペースト中にゴミが入ったようです。直します。

質問に難点があります。

-k{x1}-k({x1} - {x2})
とは
-k(2{x1}-{x2})
のことなのか?

-k({x2} - {x1})-k{x1}
とは
-k({x2}-{x1}+{x1})=k{x2}
のことなのか?

投稿日時 - 2009-07-25 18:57:54

補足

確かに
-k{x1}-k({x1} - {x2}) = -k(2{x1}-{x2})
だと思います。
ただそれが問題文であったので,
略しちゃって良いものではないんだと思いまして

こちらも
-k({x2} - {x1})-k{x1} = -k({x2}-{x1}+{x1})=k{x2}
であると思われます。

投稿日時 - 2009-07-25 19:30:39

お礼

すみません。二行目は
-k({x2} - {x1})-k{x2}
でした。。。

投稿日時 - 2009-07-25 19:44:08

ANo.1

質問に難点があります。
-k{x1}-k({x1} - {x2})
とは-k({x2} - {x1})-k{x1}
-k(2{x1}-{x2})
のことなのか?

-k({x2} - {x1})-k{x1}
とは
-k({x2}-{x1}+{x1})=k{x2}
のことなのか?

このサイトには意味不明の質問をする人がままいるのが難点なのです。

投稿日時 - 2009-07-25 18:46:34

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