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等速円運動

2次元平面内においてデカルト座標を用いた際、物体の位置が
x(t)=rcos(ωt+θ)
y(t)=rsin(ωt+θ)
(但しr、ω、θは定数)
で表される運動は等速円運動と呼ばれる。以下の問に答えよ。
(1)物体の軌道を表す式を書け。
(2)物体の速度と加速度を計算せよ。
(3)位置ベクトルと速度が直行することを示せ。


という問題ですが、(以下に示すr(t)、v(t)、a(t)はベクトル量とする。i、jはx軸、y軸の単位ベクトル。)
(1)は位置ベクトルを求めればいいんでしょうか?
位置ベクトルr(t)=x(t)i+y(t)j
=r{cos(ωt+θ)i+sin(ωt+θ)j}
(2)速度ベクトルv(t)=dr(t)/dt=rω{-sin(ωt+θ)i+cos(ωt+θ)j}
加速度ベクトルa(t)=dv(t)/dt=-rω^2{cos(ωt+θ)i+sin(ωt+θ)j}
(3)r(t)・v(t)=(r^2)ω{-sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(i・i)+cos^2(ωt+θ)(i・j)-sin^2(ωt+θ)(j・i)+sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(j・j)}
=(r^2)ω{-sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(i・i)+sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(j・j)}
=0
よって直交する。

これであってますか?

投稿日時 - 2009-05-28 18:31:38

QNo.4997923

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回答(2)

ANo.2

(1)
位置ベクトルで書いても問題ないと思いますが
円の式:x(t)^2+y(t)^2=r^2 で表現した方がいいかと思われます

(2)、(3)については特に問題ないかと

投稿日時 - 2009-05-28 19:17:49

お礼

わかりました。回答ありがとうございます。

投稿日時 - 2009-05-28 20:25:35

ANo.1

(1)物体の軌道を表す式はcos(ωt+θ)、sin(ωt+θ)を消去して
x(t)^2+y(t)^2=r^2
と書く方が直接的だと思います。
(2),(3)はOKです。

投稿日時 - 2009-05-28 19:14:26

お礼

なるほど、わかりました。
ありがとうございます。

投稿日時 - 2009-05-28 20:25:17