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解決済みの質問

フーリエ級数の問題です

大学のレポートで次の問題が出たのですが、答えをみると分からないところがあるので回答をお願い致します。
また、自分がフーリエ級数の求め方についてよく分かっていないので変な計算や解釈をしている場所があるかもしれませんがご了承願います。
問題の内容は、

次の関数f(x)のフーリエ級数を求めよ。
f(x)=0(-π≦x≦0),sinx(0≦x≦π)
f(x+2π)=f(x)

答えは、
(1/π)+(sinx/2)-(2/π)Σ[n=1→∞]{1/(2n-1)(2n+1)}cos2nx
となっていました。

a[0]/2(平均値)を求めようと思い(1/2L)∫[0,π]f(x)dxを計算したところ、

(1/2L)∫[0,π]f(x)dx
=(1/2π)∫[0,π]sinxdx
=1/π

となりましたが、答えにあるsinx/2はどこから出てくるのでしょうか?
また、{1/(2n-1)(2n+1)}cos2nxの部分は、a[n]cos(nπ/L)xのことだと思うのですが、
cos(nπ/L)x=cos(nπ/π)x=cosnx
となってcos2nxにならないような気がするのですが・・・。

以上2点についてご回答をよろしくお願い致します。

投稿日時 - 2009-04-18 22:58:38

QNo.4890455

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

黙って計算してみればわかる、と言いたくなる質問ですが。

級数のsin(nx)の項について考えると、係数b[n]は
 n=1のとき、b[n]=1/2
 n≧2のとき、b[n]=0
となります。
ですから級数のΣ[n=1~∞]{b[n]*sin(nx)}の部分はsin(x)だけが残り、あとの項は消えます。
一項だけならΣを用いて書く必要もないので、ただそのまま書きます。
これがsin(x)/2の正体です。自分で計算してみればわかります。

次にcos(nx)の項について考えると、係数a[n]は
 nが奇数のとき、a[n]=0
となります。
ですから級数のΣ[n=1~∞]{a[n]*cos(nx)}のうち、nが奇数の項は消えてnが偶数の項だけが残ります。
実際に書き並べると
  a[2]*cos(2x) +a[4]*cos(4x) +a[6]*cos(6x) +...
となるわけですね。これをΣを使って書き直すと
  Σ[n=1~∞]{a[2n]*cos(2nx)}
となりますね。
これがcos(2nx)の正体です。自分で計算してみればわかります。

投稿日時 - 2009-04-18 23:28:01

お礼

非常に分かりやすく素早い回答、ありがとうございます。
仰る通りに計算をしてみましたところ、
b[n]=(1/π)∫[0,π]sinx*sin(nx)dx
n=1のとき
=1/2π[x-(1/2)*sin(2x)][0,π]=1/2
n≧2のとき
=0

a[n]=(1/π)∫[0,π]sinx*cos(nx)dx
n=1で0
n=2で(1/2π)*(-4/3)
n=3で0
n=4で(1/2π)*(-4/15)




Σ[n=1→∞]a[n]*cos(nπ/L)x
=(2/π)Σ[n=1→∞]{1/(2n-1)(2n+1)}cos2nx)

となり、無事にproto様の回答と同じ形になりました。
おかげ様で何とかレポートの提出期限に間に合いそうですので感謝致します。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2009-04-19 09:33:54

ANo.1

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