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物理II等速円運動の加速度の大きさ

等速円運動の加速度を求める途中の式について。

ある参考書で勉強しているのですが、

oを中心に円運動している物体があります。
物体がaからbへ進むとします。
このとき、a地点、b地点における物体の速度ベクトルをv1、v2とします。

このときの速度の変化量は、

△v=v2-v1(ベクトルをうまく記述できません。つまり、この式は速度の変化量です。等速円運動なので、大きさは同じで、向きが変わるわけです。v2とv1はベクトルなので、その差が0ではありません。)

oa、obのなす角を△シーターとしますと、△シーターが小さいのを条件に、
△vの大きさは
(絶対値△v)近似値v1×△シーター
※v1はベクトルでない大きさとしてのv1

と表すことができるとあります。

どうしてこうなるのか説明できる方はいますか。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2009-01-29 19:54:37

QNo.4672000

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

※非常に言葉にしにくいので・・・分からなかったらすみません。

v1ベクトルとv2ベクトルを平行移動させ始点を一致させたとき、その間の角はΔθになります。
Δv=v1ベクトルーv2ベクトル=v1の終点からv2の終点
となり、その大きさは基本的には三角形とみて計算すべきですが、Δθが小さい場合、半径v1(=v2)、内角Δθの円弧としてみなします。(=近似)
よって弧の長さの公式より(以下大きさ)Δv≒v1×Δθとなります。

参考URLに説明は簡素ですが参考になりそうな図があります。『等速円運動の「加速度」』のところです。

参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/circularMotion/

投稿日時 - 2009-01-29 20:46:33

お礼

つまり、L=r×シーター(内角?)の式の応用ですね。

これで分かりました。

ありがとうございました。

投稿日時 - 2009-01-30 18:46:49

ANo.1

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回答(4)

ANo.4

主な疑問点は

「oa、obのなす角とv1とv2のなす角がなぜ同じ△θになるのか」

ということでしょうか?

oaとv1は直角、obとv2も直角なのはいいでしょうか。

△θの角度をなす2本の棒を両方とも同じ角度だけ折り曲げても、曲げた後の
2本の棒のなす角度△θ自体は変化しませんよね。

曲げる前の棒をoaとob、曲げた後の棒をv1とv2、曲げた角度を直角とすれば
v1とv2のなす角が△θになることは理解できると思います。

|△v|は|v1|と|v2|を等辺とする二等辺三角形の底辺ですが△θが小さいために、
半径が|v1|=|v2|、中心角が△θの扇形の弧の長さで近似することができます。

|△v|≒|v1|△θ

投稿日時 - 2009-01-29 22:57:22

お礼

とにかくも解決しました。
丁寧な回答をありがとうございます。

L=r×シーターの応用だったわけです。

投稿日時 - 2009-01-30 18:57:06

ANo.3

速度ベクトルv1,v2の始点を合わせてみてください。
(始点を原点として速度ベクトルの変化を終点の描く曲線として追跡した図をホドグラフといいます。等速円運動のホドグラフはやはり円になり,速度ベクトルの終点はやはり等速円運動します。)
v1とv2の間の角度はΔθになりますね?そしてΔvはv1の終点からv2の終点へ向かうベクトルです。Δθが十分小さければ,|Δv|はΔθに対する弧の長さに近似されます。すなわち,|Δv|≒|v1|Δθとなるのです。もちろん,Δθは弧度法による角度[rad]であることはご存知ですね?

投稿日時 - 2009-01-29 21:04:38

お礼

ホドグラフのことは知りませんでした。
とにかく、L=r×シーターの応用ということが分かりました。

ありがとうございます。

たったこれだけに1ヶ月くらい考えてしまいました。

投稿日時 - 2009-01-30 18:52:44

ANo.2

v1とv2のなる角度はΔθです。
Δv=v2-v1
の三角形は、v1とv2の長さが等しい二等辺三角形なので
|Δv|=2×|v1|sin(ΔΘ/2)≒|v1|ΔΘ
(ΔΘ<<1からsin(ΔΘ/2)≒ΔΘ/2を最後に使っています)

参考になりましたら幸いです。

投稿日時 - 2009-01-29 20:57:21

お礼

ありがとうございます。
( )のなかの説明が自分には理解できませんでした。
すいません。

投稿日時 - 2009-01-30 18:43:40

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