こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

楕円の面積

半径rの円があります。これを真上から見ます。(円のある平面を垂直方向から見る)
この時この平面を45°回転させると(平面内ではなくて)、この円は楕円になりますよね?(目線を垂直方向から45°ずらすといえばいいのでしょうか)
x方向は変化しませんが、y方向はrよりも大きな値になると思います。
この時の楕円の面積っていくらなんでしょうか?最初の円と比べて
何倍になっているのでしょうか?
45°だけじゃなくてθだけ回転させた時の楕円の面積ってどう表わされるのでしょうか?
できるだけ計算途中とかも詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

それと別の質問なのですが、
例えばA単体元素(密度N(A))とB単体元素(密度N(B))からなる化合物ABがあるとします。
Aの組成比をxとするとBの組成比は(1-x)です。
この時、この物質の密度N(AB)を
N(AB)=x・N(A)+(1-x)・N(B)のように
組成に応じて掛け算したものとします。
この時、この組成に応じて掛け算したこの形をなんというのでしょうか?
加重平均?でいいのでしょか?(質問の意味がわからなければ補足いたします)

投稿日時 - 2003-01-23 15:39:30

QNo.453251

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

No.2は微妙にまちがてtるので、再投稿します^^;
------------------------------------------------------------

楕円について:
x、yは設定されてないよー、というのはおいといて、

長軸が長く見えるのではなく、
短軸が短く見えるんですよ。

たとえば、45度ではなく、90度ずらして見たばあい、
(つまり、円のある平面内からみた場合)
円は長さ2rの線分に見えます。

一般には、

─────────────
↑      │    /
       │   /
短軸の長さ  │  円
       │θ/
↓      │/
─────────────

図のようになりますので、
短くなる方向の見かけの半径(?)は、r cos θになります。
また、面積はcosθ「倍」になります。
45度の時は、√(2) / 2倍、つまり、約0.707倍になります。

面積は
π r^2 cosθ
です。^2は、2乗の意味だと思ってください。

もうひとつの質問は、別の質問として投稿しましょう。

投稿日時 - 2003-01-23 16:10:48

お礼

ご回答ありがとうございました。
たしかに良く考えてみると、短くなるんですね。恥ずかしい。。。
見かけの半径は rcosθだからといって、面積もcosθで変化するのかどうか
すぐにぴんと来ませんでした。だけど、楕円の面積がπabということがわかって納得しました。
ご丁寧に図まで書いて説明していただいてありがとうございました。

投稿日時 - 2003-01-24 08:42:26

ANo.4

このQ&Aは役に立ちましたか?

2人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(5)

ANo.5

■円と楕円■

 円の面積は=半径×半径×円周率
楕円の面積は=長い半径×短い半径×円周率
です。
だから、r×(rcosθ)×π

--------------------------------------------------------------
■球と楕円体■

 ついでに、半径rの球の体積は
(4/3)×半径×半径×半径×円周率

回転楕円体(みかん型)の体積は
(4/3)×(違う半径)×半径×半径×円周率

楕円体(フットボール型)の体積は
(4/3)×(半径1)×(半径2)×(半径3)×円周率

----------------------------------------------------------------

投稿日時 - 2003-01-24 16:03:37

お礼

面積だけじゃなくて体積まで教えていただいてありがとうございました。
球と楕円体って同じような感じなんですね。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2003-01-29 13:04:23

ANo.3

x^2/a^2+y^2/b^2=1
となる楕円の面積はπabとなります。
半径rの円は
x^2/r^2+y^2/r^2=1
となるので、面積はπr^2です。
これを45度回転させると a=r,b=rcos45°=r√2/2
となるので、面積はπr^2√2/2となります。
Θ回転させたときはa=r,b=rcosΘとなります。
面積はπr^2cosΘとなります。
厳密に言えば、πr^2|cosΘ|ですかね。

投稿日時 - 2003-01-23 16:06:34

お礼

ありがとうございました。
私も自分で計算しましたが、楕円の面積はπabになりました。
楕円を回転させた時は、cosθで面積が変化するんですね。
もうちっと複雑になると思っていました。

投稿日時 - 2003-01-24 08:39:09

ANo.2

楕円について:
x、yは設定されてないよー、というのはおいといて、

45度ではなく、90度ずらして見たばあい、
(つまり、円のある平面内からみた場合)
円は長さ2rの線分に見えます。
つまり、
楕円の長軸方向がy方向、短軸方向がx方向だとすれば、
x方向の長さが0になり、y方向の長さは変化しません。

─────────────
↑      │    /
       │   /
見かけの半径 │  半円
       │θ/
↓      │/
─────────────

図のようになりますので、
短くなる方向の見かけの半径は、r cos θになります。
つまり面積はcosθです。
45度の時は、√(2) / 2倍、つまり、約0.707倍になります。

もうひとつの質問は、別の質問として投稿しましょう。

投稿日時 - 2003-01-23 16:05:33

お礼

ありがとうございました。
お礼は、No4の方でいたします。

投稿日時 - 2003-01-24 08:37:42

ANo.1

なんか宿題っぽい質問...といっておいたところで、
最初の問題は、xy平面状にある半径rの円盤をy軸上θだけ回転して
その円盤をxy平面上に投影した時の面積ですよね...
y軸から円周上の各々の点までの距離をhとすると、その点が投影された点までの
距離はhcosθとなります...なので積分した結果は、2πr^2cosθとなるはずですが..(嘘かも)
後者は加重平均であってるとおもいますが....
化合物でなくて混合物ですよね.....

投稿日時 - 2003-01-23 16:01:40

お礼

ご回答ありがとうございました。
仕事の都合上ちょっと知りたかったもので。。。(レポートではありません)

投影した方法でやる方法もあるんですね。初めて知りました。
結局 x^2/a^2 + y^2/b^2 = r^2 の式で、第一象現だけの場合を考えて
積分したら(x=acosθとおいて)楕円の面積を求めることができました。

加重平均で大丈夫なんですね。ちなみに化合物の密度の近似としてこれを用いました。

投稿日時 - 2003-01-24 08:36:08

あなたにオススメの質問