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解決済みの質問

積分範囲-∞→∞の積分の発散についてです。

「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲-∞→∞ が、発散することを確かめよ。」
という問題なのですが、何度計算をしても0に収束してしまいます。
そもそも関数が奇関数なので0に収束するので間違いないと思うのですが…教科書に載っているの問題なのですが解答は「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲0→∞ =∞より∫(x/1+x^2)dx 積分範囲-∞→∞は発散」となっています。どういうことなのですか?

投稿日時 - 2008-11-27 13:24:48

QNo.4511126

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

積分範囲を「-a~a」にしてませんか?
一般的に広義積分は「a~b」の積分値の極限「a→-∞、b→∞」として定義されます。

投稿日時 - 2008-11-27 13:33:02

補足

ringohatimituさんのおっしゃるとおりです。積分範囲を「-a~a」にしていました。恥ずかしながら広義積分の定義を理解していなかったようです。

ただ、私も積分範囲を-∞→0、0→∞に分けて計算をしてみたのですが、結果は与式=-∞+∞となり、発散することを確かめられませんでした。教科書の解答では先に述べたようになっているのですが、教科書の解答の意図がわかりません。なぜあの解答によって与式が発散すると言えるのですか?

投稿日時 - 2008-11-27 13:45:39

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回答(3)

ANo.3

つまるところ定積分の値が -∞ + ∞ となるから「収束しない」ということではないかな?

投稿日時 - 2008-11-27 14:38:38

お礼

排反的な考え方ですね!それならしっくりきました!ありがとうございます。

投稿日時 - 2008-11-27 14:54:49

ANo.1

>そもそも関数が奇関数なので0に収束するので間違いないと思うのですが…

同じペースで +∞ と -∞ の両方向に積分範囲を広げても「収束する」とは言えません。

+∞ 方向の積分と -∞ 方向の積分が「各々個別に」収束するときに初めて、-∞ ~ +∞ の範囲の積分が「収束する」と言います。

投稿日時 - 2008-11-27 13:31:24

お礼

早速の回答ありがとうございます!

私にはその発想がありませんでした…

投稿日時 - 2008-11-27 13:38:41