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解決済みの質問

連立微分方程式

物理の勉強をしていたところ、その中の問題の一つを解く過程で連立微分方程式が出てきてしまいました。
解き方がいまいちわからないので、ご鞭撻の程よろしくお願いいたします。
以下に問題と自分なりの解答を記載します。
微分は全て’を用います。また、全て時間で微分しています。大文字は全て定数です。
また、時間微分演算子をtで表します。
例:x’=dx/dt   t=d/dt    t^2=d^2/dt^2

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問題  Ax''=-Bx+Cy'    -(1)    Ay''=-By-Cx'   -(2)
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解答
(1)+(2):  A(x''+y'')+B(x+y)=C(y'-x')
→   (At^2+B)(x+y)=Ct(y-x)    -(3)
同様に(1)-(2):  (At^2+B)(x-y)=Ct(y+x)    -(4)

(3)×(y-x)-(4)×(x+y) :   0=Ct((y+x)^2+(y-x)^2)
∴ (y+x)^2+(y-x)^2=D
従って、y^2+x^2=E

これより、この物理運動はx-y平面で円運動になる。

となったのですが、解き方が完全に思いつきの我流ですので、
間違ってるとしか思えません。(そもそも演算子をバラしていいのかどうか・・・。)

正しい解き方をご教授ください。
よろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2008-06-28 01:38:18

QNo.4134669

DNR

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質問者が選んだベストアンサー

問題は直線運動を回転座標系からみるとどの様な運動をしているか、という問題で出てくる形ではないでしょうか。
答えは円運動ではなくもう少し複雑になります。

演算子を利用するのは面白い方法だと思うのですが、あなたの考えを拡大すると
例えば、t^2x=0だがら両辺にxをかけてt^2x^2=0
というようなもとの微分方程式の形が全く違うものになってしまうので
やってはいけないことだと思います。

解法の1としてはxとyをx=ξ+η、y=ξーηとします。
これを(1),(2)式に代入し和と差をとるとξとηだけの微分方程式になります。

解法の2としては(x、y)をベクトルと考えX=(x、y)とします。
問題式はAX"ーBX'+CX=0になります。ただしA,B,Cは行列です。
解の公式にいれると、指数の肩に行列が乗ってくるというすごいものが出てきます。化け物みたいなものですが、指数の定義にしたがって計算してみてください。もしくは線形代数と微分方程式の本を見てください。

とりあえず問題を解くのであれば解法1が簡単ですが、ぜひ解法2をやってください。線形代数、微分方程式、物理の醍醐味が全部混ざった良問を味わえると思います。

参考URL:http://www.amazon.co.jp/新微分方程式対話-日評数学選書-笠原-晧司/dp/4535601194

投稿日時 - 2008-06-28 04:11:18

お礼

返事が遅くなり申し訳ありません。
おかげさまで解くことができました!

解法2は参考URLに載っていた本を図書館で借りてきて読んでいるところですので、理解するにはまだちょっと時間がかかりそうです。
こちらのほうも頑張りたいと思います。

丁寧な解法を教えていただきありがとうございました。

投稿日時 - 2008-06-28 20:52:47

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