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解決済みの質問

線形独立を示す。(基底の分野です。)

線形代数の問題です。

W:=“有限生成”とするとき、
(V=C^0 [a,b]、W:={Σ(k=1 to n )Ck・e^kx | Ck∈R)
V≧W=<e^x、e^2x、…、e^nx>)の
{e^x、e^2x、…、e^nx}=“線形独立”を示せ。

(1){e^x、e^2x、…、e^nx}はWの生成系 (★証明済み)
(2)e^x、e^2x、…、e^nx≠0 (恒等的に0でない)

(2)証明
Σ(k=1 to n )Ck・e^kx=0 (定数関数)(恒等的に0)
C1・e^x+C2・e^2x+…Cn・e^nx=0(恒等的に0)
両辺に1/e^xをかけると、
C1+C2・e^x+…+Cn・e^(n-1)x=0  ・・・(1)
x=0を代入
C1+C2+…+Cn=0   ・・・(2)
(1)をxで微分する
C2・e^x+2C3・e^2x+…+(n-1)Cn・e^(n-1)x=0(恒等的に0)
x=0を代入
C2+2C3+…+(n-1)Cn=0
・・・

この続きが分かりません。(分かりづらくてすみません)
何か、決まったやり方があるようなのですが・・・。
どなたかよろしくお願いします。

投稿日時 - 2002-11-05 21:43:01

QNo.397769

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質問者が選んだベストアンサー

 もう、ほとんどできてると思います。

 C1+C2+…+Cn=0  (1回目)
 C2+2*C3+…+(n-1)*Cn=0  (2回目)
がすでに出ていますが、
 C2*e^x+2*C3*e^2x+…+(n-1*Cn*e^(n-1)x=0
の両辺に1/e^xをかけて、xで微分し、x=0を代入を代入すると、
  1*2*C3 + 2*3*C4 + … +(n-2)*(n-1)*Cn=0  (3回目)
になります。
 これをくりかえしていくと、
   1*2* … *(n-2)*Cn-1 + 2* … *(n-1)*Cn=0  ((n-2)回目)
   1*2* … *(n-1)*Cn=0  ((n-1)回目)
になります。

 (n-1)回目の式より
  Cn=0
これを (n-2) 回目の式に代入して、
  Cn-1 =0
で、どんどん逆に代入していって、
  C1 =0
まで得ることができます。
 これで線形独立性が示せたでしょう。

 見づらい・分かりづらいですが、このカテの宿命ですね。

投稿日時 - 2002-11-05 23:09:24

お礼

ありがとうございます。
何度も繰り返せばいいんですね。

細かい式までありがとうございました。

投稿日時 - 2002-11-06 17:50:27

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