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面積計算

xy平面上の曲線C:y=sinx(0≦x≦π/2)上の点(θ、sinθ)における接線l、法線をmとする。ただし、0<x<π/2をみたすものとする。
Cとlおよびx軸とで囲まれる図形の面積をS1とし、Cとmおよびx軸とで囲まれる図形の面積をS2とする。S2-S1の取りえる値の範囲を求めよ。
計算したら、
S1:-(cosθ-1)^2/2cosθ  S2:θsinθ-θ^2/2cosθ
S2-S1θ=(2sinθcosθ-θ^2cos^2θ+cos^2θ-2cosθ+1)/2cosθ
というきたない感じになってしまったんですが、計算間違いでしょうか。もし、合ってるならこのあと、どう計算したらいいのでしょうか…。

投稿日時 - 2008-04-19 16:10:59

QNo.3959911

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回答(1)

ANo.1

S1=(1-cosθ)^2/(2cosθ)
S2=(1-cosθ){(cosθ)^2+cosθ+2}/2
S2-S1=(1-cosθ){(cosθ)^3+(cosθ)^2+3cosθ-1}/(2t)
t=cosθとおいて
S=(1-t)(t^3+t^2+3t-1)/(2t)
dS/dt=-((t^2+1)(3t^2-1))/(2t^2)
dS/dt=0とおくと
t=1/√3 
t=1/√3 で極大かつ最大で
S=2-8√3/9
とか?

投稿日時 - 2008-04-19 20:19:43