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解決済みの質問

2次曲線、楕円、双曲線、放物線、準円、準線、軌跡

楕円において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、
準円と呼ばれます。
証明は
www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kkawachi/math-misc.files/director_circle.pdf
などに書かれています。

同様に、双曲線において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、準円と呼ばれます。

では、なにかあるなめらかな曲線があって、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡が円となるとき、もとの曲線は楕円、または、双曲線に限られるのでしょうか?

投稿日時 - 2008-02-01 19:54:51

QNo.3734907

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

あらかじめ,これは回答ではありません.

リンク先の話は,先に曲線があって,
それに対してという話なので簡単なわけですね

逆にしてみると・・・厄介だなあ.
ってか・・解けない.
答えの想像は「たぶん円・楕円・双曲線・放物線」だろうなとは
思いますけどねー
#二次曲線は見方を変えると
#本質的に一種類なので放物線もいれておきます

リンク先の「方法1」に沿ってみよう.

F(x,y)=0 (FはC^∞くらいにしておこう)
なる曲線Cと,点A(a,b)をとる.
AからCへの接線の傾きをmとおこう.
接線は y=m(x-a)+b
軸に平行なケースはとりあえず考えない.
F(x,m(x-a)+b)=0
を考える.これは接線だから重解をもつはずだ.
この場合,f(x)=F(x,m(x-a)+b)とおくことで
f(x)=f'(x)=0が共通解を持つことに相当する.
この共通解が接点だ.
この共通解をもつということから,mを引っ張り出す.
そして,直交するという条件を使う.

とまあ・・・・こんな感じ大雑把にはすすめるわけですが,
問題点が複数あります
・軸に平行な接線を考えていない(これは本質ではない)
・接線がそもそもひけるか否か?
・接線がひけても2本だけか?1本もしくは3本以上のケースはどうする?
これを回避するには曲線Cを限定してしまうことが簡単です.

そこで,曲線Cを多項式F(x,y)で表わせるものとしてしまいます.
さらに次数も限定してしまいましょう.

次数が1の場合は無意味なので考えません.

次数が2の場合
F(x,y) = a20 x^2 + 2a11 xy + a02 y^2 + 2a10 x + 2a10 y + a00
とおくのがお約束.係数に2があるのは本質ではなく
表記を簡単にするためのお約束.
これを分類・整理するのが
大学の一年生くらいの線型代数の最後の方によくでてくる
二次形式の理論.
まあ,詳細は省いて,これは質問者氏が把握している問題と
その結果が導かれます.
#けど真剣にやったらかなり難儀な計算と理論と思考が必要ですよ.

次数が2の場合,接線の存在も個数も,二次方程式の議論から
判別式で素直に出てしまうので容易なわけです.
しかも「除外すべき特異なケース」は
F(x,y)が一次関数に因数分解されてしまうケースと
F(x,y)=x^2+y^2のようにF=0が一点になったり
F(x,y)=x^2+y^2+1のようにF=0が空集合になるケースくらいです.

これが次数が3になると,話が複雑.
接線が3本引けるケースもでてくるし。。。
本質的なのは3次曲線からは「特異」なものがでてくること.
F(x,y)=x^2-y^3なんてのは原点の形状が特異
F(x,y)=y^2-x^3-xなんかはもっと複雑
(これ暗号に使われる曲線のシンプルな例)
幸いなことに三次曲線は分類が完了してますが,
専門の数学者が研究でやってたくらいで,
結構最近の結果です.

もっと次数をあげると・・・4,5次あたりまでは
たしか分類完了してますが,
爆発的にパターンが増えるので
このアプローチは破綻します.

ということで,リンク先の「方法2」「方法3」のように
より抽象的・幾何的な方向にいくのですが,
そうなると話は格段に難しくなります.

投稿日時 - 2008-02-02 11:41:25

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回答(3)

ANo.2

別に枝葉じゃないだろうよ。
2次曲線といってるんだから、そんな程度なら自分で確かめれるだろう。

投稿日時 - 2008-02-01 22:45:47

お礼

問題文をよくよまれてください。
「なにかあるなめらかな曲線」と書いております。

投稿日時 - 2008-02-01 22:53:42

ANo.1

>同様に、双曲線において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり

常に、ではない。条件がつく。

>もとの曲線は楕円、または、双曲線に限られるのでしょうか?

他にある曲線といえば、放物線と円。
放物線の場合の軌跡は準線、円の場合は?

投稿日時 - 2008-02-01 21:49:45

お礼

あのう、円は楕円に含まれると考えてください。
枝葉でないご回答をお待ちしております。

投稿日時 - 2008-02-01 22:14:00

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