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解決済みの質問

空間(長いです)

「空間において、定点O,Aがあり、
FはOAの中点を中心とする半径1の球面である。
2点X1,X2をF上に取る時、4点O,A,X1,X2を頂点とする四面体の
体積の最大値を求めよ」
という問題で、(全部書くと長くなるので質問したい所だけ書くと)
『直径OAをx軸上に置き、△OX1Aをxy平面上に取る。
原点をO'として、O(1,0,0),A(-1,0,0)とする。
点X2からxy平面に降ろした垂線の足をHとし、O'Hとx軸の正方向とのなす角をβ、O'X2とz軸の正方向とのなす角をθとすると
X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)となる』

とあるのですが、
どうしてX2座標のx座標とy座標はsinθが掛かってるんですか?
また、Hの座標は(cosβ,sinβ,0)でOKですか?

回答よろしくお願いします。

投稿日時 - 2007-11-05 23:34:08

QNo.3492868

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>どうしてX2座標のx座標とy座標はsinθが掛かってるんですか?
>また、Hの座標は(cosβ,sinβ,0)でOKですか?

まず、誤解の第一点はO'Hの長さが1だと考えている点ではないでしょうか。
HはX2からxy平面に下ろした垂線の足ですからO'HはO'X2*sinθです。
O'X2=1ですからO'H=sinθです。なので

H(sinθcosβ,sinθsinβ,0)
X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)

となります。

投稿日時 - 2007-11-05 23:53:33

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回答(2)

ANo.2

X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)はこの”普通の球座標”の式。
球座標は地球の中心がO’ 北極がz=1、南極がz=-1
でθは90°-緯度
にあたる角度(北極からはかった角度)
βは赤道上の1方向 (グリニッジに相当))すなわちx軸 から
はかった角度(経度に相当)で球上の位置を示しています。
>O'X2とz軸の正方向とのなす角をθ
θがz軸となす角
HはX2から赤道面(xy面)にz軸に平行におろした線と赤道面の交点
X2の赤道面(xy面)への正射影は、Hを通る円、すなわち半径sinθの円上を移動します。
xy面での位置は、x軸からの距離をβとすれば、
x=Rcosβ
y=Rsinβ
R=sinθ
で、Hの赤道面からの高さは、cosθ
です。まとめると、
X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)
になります。
これで、
0<θ<π
0<β<2π
をうごけば球面上を動くことになります。

ちなみに
OAをz軸においた解を示しておきます。
O(0,0,-1)
A(0,0,1)
とおいて
x1(sinα,0,cosα)
x2(cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ)
から
底辺をΔOAX1とすれば、
面積は、1/2×OA×(X1のx座標)
=sinα
四面体の高さは、x2のy座標
sinφsinθ
体積Vは
V=1/3×sinαsinφsinθ
最大となるのは、
α=π/2
φ=π/2
θ=π/2
6V=2
V=2/3

ようするに、
ΔOAX1を底面 OAX1からの高さをX2の(質問者の設定ではz座標、上の解では、y座標)として、
それぞれ、X1は底面を最大にするように X2は高さを最大にするようにきめればいいだけです。
(じつはわざわざ極座標を使う必要はありません。)

投稿日時 - 2007-11-06 15:22:51

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