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解決済みの質問

円の方程式の問題

a>0として、xy平面上の定点A(0,a^3)を通り、x軸から2a^2の長さの線分を切り取るような円がある。
その円の中心Pの軌跡をCとする。

(1)曲線Cの方程式を求めよ。
(2)Cとx軸が異なる2点で交わるとき、Cとx軸で囲まれる部分の面積Sの最大値を求めよ。
(補足:問題には書いてありませんが、恐らく(2)のSはy≦0に存在する下の方の部分の面積のことと思われます)

という問題が解けません。
分かるところまで書くと、
P(s,t)、円の半径をrとすると、
円は方程式 (x-s)^2+(y-t)^2=r^2 で表せる。
APの距離を使うのかと思いましたが良く分かりませんでした。
分かる方いましたら宜しくお願いします。

投稿日時 - 2007-10-30 18:40:44

QNo.3475129

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

No.5です。

>=(2/3){a√(1-a^2)}^3となったのですが・・・
すみません。計算ミスをしてました。

=(2/3){√a^2(1-a^2)}^3(ルートは全体にかかる)
ここで、√a^2(1-a^2)≦{a^2+(1-a^2)}/2(相乗平均≦相加平均)であるから、
≦(2/3)(1/2)^3
=(2/3)(1/8)
=1/12(等号成立はa=1/√2の時)

(答え)S=1/12(a=1/√2の時)

相加平均≧相乗平均:
a≧0かつb≧0の時、(a+b)/2≧√ab(等号成立はa=bの時)を使いました。
これは正の数でなくとも、0以上の数で成り立ちます。

投稿日時 - 2007-11-01 00:23:39

お礼

回答ありがとうございます。
微分でaの値を確認したのですが相加相乗平均の方が早いですね。
答えは先ほど微分で出した値1/12と一致したので安心しました。

相加相乗に関してですが
さっきのやり方を真似して -a^4+a^2≧2√・・・
とやって虚数解が出て悩んでいました。
a^2(1-a^2)のままなら簡単に出せますね。

投稿日時 - 2007-11-01 01:12:09

ANo.9

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回答(9)

ANo.8

文系でもx^nの微分ならOKでは

S= 2a^3√(1-a^2) ^3 /3
A={3S/2}^2=a^6(1-a^2)=a^6-a^8
dA/da=6a^5-8a^7=2a^5(3-4a-2)
dA/da=0とおくと
a^2=3/4 a=√3/2 (a>0)
a=√3/2 で極値
0<a<√3/2 でdA/da>0 より増加
√3/2<a<1 でdA/da<0 より減少
よってa=√3/2 で極大かつ最大で、
最大値A=a^6(1-a^2)=(3/4)^3(1-3/4)=27/16^2
A={3S/2}^2から
S=√3/8

投稿日時 - 2007-10-31 22:52:01

お礼

回答ありがとうございます。
微分と相加相乗の2つの解き方で解けました。

投稿日時 - 2007-11-01 01:13:29

ANo.7

#2です。補足質問の回答と訂正です。

>>r^2=t^2+a^2=s^2+(t-a^3)^2 …(B)
r^2=t^2+a^4=s^2+(t-a^3)^2
と訂正です。
>これはどうやって出すのですか?
円とx軸の交点をQ(s-a^2,0),R(s+a^2,0)とすると
P(s,t),A(0,a^3)から
PQ^2={s-(s-a^2)}^2+(t-0)^2=t^2+a^4
PA^2=(s-0)^2+(t-a^3)^2=s^2+(t-a^3)
r^2=PQ^2=PA^2より
r^2=t^2+a^4=s^2+(t-a^3)^2 …(B)
この訂正で以下も影響を受けますので
変更訂正下さい。
>(B)からtを求めると
t=(s^2)/(2a^3) +a(a^2-1)/2

>円の中心の軌跡はP(s,t)の軌跡Cだからs,tをx,yと置換して
C: y=(x^2)/(2a^3) +a(a^2-1)/2 …(C)

>(2)Cとx軸が2点で交わる為には
>a>0と(C)から
a(a^2-1)/2<0 ⇒ 0<a<1 …(D)
>x軸との交点は(C)でy=0とおいて
x^2=(1-a^2)a^4≧0 ⇒ x1=(a^2)√(1-a^2),x2=-x1=-(a^2)√(1-a^2)

面積S=∫[x2,x1] 0-{(x^2)/(2a^3) +a(a^2-1)/2}dx
=(4/3)(a^3)(1-a^2)^(3/2)
dS/da=-4(a^2)(2a^2 -1)√(1-a^2)
0<a<1から
0<a<1/√2でdS/da>0 増加
1/√2<a<1でdS/da<0 減少
a=1/√2でdS/da=0  極大値をとる
S(a)→0(a→+0),S(a)→0(a→1-0)
a=1/√2で最大値(極大値)
S(1/√2)=1/6 …(答)

#最初の式のミスでそれが最後まで波及してごめんなさい。

投稿日時 - 2007-10-31 11:07:47

お礼

丁寧にありがとうございます。
やっと答えがでました。
今夜はぐっすり眠れそうです。ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-10-31 23:24:57

ANo.6

Sの最大値を求める

S= 2a^3√(1-a^2) ^3 /3
dS/da=2/3×a^2(3-4a^2)/sqrt(1-a^2)
dS/da=0とおくと
a=0, ±√3/2
0<a<√3/2で増加
√3/2<a<1で減少
最大はa=√3/2のときで、
最大値√3/8

投稿日時 - 2007-10-31 09:02:29

お礼

回答ありがとうございます。
すいませんが文系なので複雑な微積は出来ません。

投稿日時 - 2007-10-31 21:37:54

ANo.5

こんにちは。

>円は方程式 (x-s)^2+(y-t)^2=r^2 で表せる。
>APの距離を使うのかと思いましたが良く分かりませんでした。

(1)「円の方程式」ではなく、「中心の座標」が欲しいので、
 垂直二等分線の交点でやってみます。
 A(0,a^3), B(s,0), C(s+2a^2,0)とおくと、
 線分BCの垂直二等分線の方程式は、x=s+a^2・・・[1]
 線分ABの垂直二等分線の方程式は、y=(s/a^3)(x-s/2)+a^3/2・・・[2]
 題意の円は、3点A,B,Cを通るので、その中心は[1][2]の交点となる。
 [1][2]を連立すると(sを消去すると)、
 y=(1/2a^3)x^2-(a/2)+(a^3/2)(答え)

(2)放物線と直線で囲む面積であるから、
 公式:S=(|a|/6)(β-α)^3 を使います。

 (1)の(答え)で、y=0とおき、xについて解くと、
 x=±a^2√(1-a^2)となる。ここから、0<a<1が必要で、
 β-α=2a^2√(1-a^2)=2√(a^4-a^6)となる。
 
上の公式より、S(a)=(1/6)(1/2a^3)(2a^2√(1-a^2))^3
 =(2/3)√a^6(1-a^2)となる。

 S(a)の最大値を、「相乗平均≦相加平均」を利用して求める。
  a^6(1-a^2)
 =27(a^2/3)(a^2/3)(a^2/3)(1-a^2)
 ≦27{(a^2/3)+(a^2/3)+(a^2/3)+(1-a^2)}^4/(4^4)
 =27/256(等号成立はa=√3/2の時)

 従って、S(a)の最大値をSとすると、S=S(√3/2)=√3/8(答え)

投稿日時 - 2007-10-30 23:56:06

お礼

回答ありがとうございます。

>上の公式より、S(a)=(1/6)(1/2a^3)(2a^2√(1-a^2))^3
>=(2/3)√a^6(1-a^2)となる。

ここが分からないのですが、S=a(1/6)(β-α)^3 を利用して

S=(1/6)*(1/2a^3)*{3a^2√(1-a^2)}^3
=(2/3)a^3{√(1-a^2)}^3
=(2/3){a√(1-a^2)}^3

となったのですが・・・

投稿日時 - 2007-10-31 21:48:21

ANo.4

#1です。

>「PA^2=PQ^2で式を作れば」これ以降出来たらお願いします。

P(s,t),A(0,a^3)
PA^2=s^2+(t-a^3)^2=s^2+t^2-2a^3t+a^6

P(s,t),Q(s-a^2,0)

PQ^2=(a^2)^2+t^2

s^2+t^2-2a^3t+a^6=a^4+t^2
2a^3t=s^2+a^6-a^4
t=s^2/2a^3+a^3/2-a/2

ですね。

投稿日時 - 2007-10-30 22:59:06

お礼

回答ありがとうございます。
軌跡が求まりました。結構簡単だったんですね。

投稿日時 - 2007-10-31 20:12:47

ANo.3

x軸から2a^2の長さの線分を切り取る
ことから、円の半径をr,中心P(X,Y)
とすると、
Y^2=r^2-a^4
(0,a^3)が円上にあることから
X^2+(Y-a^3)^2=r^2
X^2+Y^2-2a^3Y+a^6=r^2
X^2-a^4-2a^3Y+a^6=0
Y =1/(2a^3)X^2+a(a^2-1)/2
2点で交わるのは
a(a^2-1) <0
0<a<1
のときで
交点はX=±a^2√(1-a^2)
S=1/(2a^3) { 2a^2√(1-a^2)}^3/6
= 2a^3√(1-a^2) ^3 /3

投稿日時 - 2007-10-30 22:25:36

お礼

回答ありがとうございます。
Sのaを含んだ式を出すまで理解できました!

投稿日時 - 2007-10-31 21:39:19

ANo.2

(1)
円:(x-s)^2 +(y-t)^2=r^2  …(A)
r^2=t^2+a^2=s^2+(t-a^3)^2 …(B)
(B)からtを求めると
t=(s^2)/(2a^3) +(a^4-1)/2a
円の中心の軌跡はP(s,t)の軌跡Cだからs,tをx,yと置換して
C: y=(x^2)/(2a^3) +(a^4-1)/2a …(C)

(2)Cとx軸が2点で交わる為には
a>0と(C)から
(a^4-1)/2a<0 ⇒ 0<a≦1 …(D)
x軸との交点は(C)でy=0とおいて
x^2=(1-a^4)a^2≧0 ⇒ x1=a√(1-a^4),x2=-x1=-a√(1-a^4)

面積S=∫[x2,x1] 0-{(x^2)/(2a^3) +(a^4-1)/2a}dx
=(4/3)(1-a^4)√(1-a^4)
dS/da=2(-4a^3)√(1-a^4)<0 (0<a≦1)
S(a)は単調減少関数
S(0)=4/3,S(1)=0
0<a≦1の条件では 4/3>S≧0
a=0の値が取れないのでSの最大値は存在しない。(答)
(Sの上界は4/3。)

(0≦a≦1であればSの最大値はS(0)=4/3となります。)

投稿日時 - 2007-10-30 22:01:46

お礼

回答ありがとうございます。
1つ分からないところがあるのですが、

>r^2=t^2+a^2=s^2+(t-a^3)^2
これはどうやって出すのですか?

投稿日時 - 2007-10-31 02:59:18

ANo.1

円がx軸を長さ2a^2で切り取るということはx軸上の2点Q,Rを通り、QRの長さが2a^2です。
よってP(s,t)と置くとQ(s-a^2,0),R(s+a^2,0)となります。
(∵Pは線分QRの垂直2等分線上の点であるので)
ここで
PA^2=PQ^2
で式を作ればsとtの関係が出てくると思います。
tはsの2次方程式になります。
後は積分で面積S計算し、Sをaの関数で表して最大値を求めることになると思います。
(こちらは確かめていませんが)

投稿日時 - 2007-10-30 19:27:30

お礼

回答ありがとうございます。
すいませんがもう少し細かく書いていただければ助かります。
「PA^2=PQ^2で式を作れば」これ以降出来たらお願いします。

投稿日時 - 2007-10-30 20:28:58

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