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解決済みの質問

微分方程式の一般解について

微分方程式の一般解についてなんですが、特性解が重解や2つあるときはわかるのですが特性解が1つのときの一般解の求め方がわかりません。
今、yの二階微分をA、一階微分をBとします。
例えば4D-12B+9y=0という微分方程式があったとして、これの特性解は3/2です。
どうやって求めたらいいのでしょう?

投稿日時 - 2007-10-23 23:12:33

QNo.3455852

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質問者が選んだベストアンサー

こんにちは。

>特性解は3/2です。どうやって求めたらいいのでしょう?

特性方程式が重解 x=α を持つ時は、e^(αx)に対して、xe^(αx)が線型独立な
特殊解になります。

従って、y=C1e^(αx)+C2xe^(αx) (C1, C2は定数) となります。
この公式を用いると、(答え)y=C1e^(3/2)x+C2xe^(3/2)x


>特性解が重解や2つあるときはわかるのですが
特性解が1つのときの一般解の求め方がわかりません。

この部分は一部意味不明です。特性解が1つというのは、この場合、
重解だと思います。

投稿日時 - 2007-10-23 23:47:51

お礼

重解の意味を勘違いしてました^^;ありがとうございます。

投稿日時 - 2007-10-24 00:20:53

ANo.2

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回答(3)

ANo.3

2階線形同次微分方程式 ay"+by'+c=0 の補助方程式(特性方程式)は、at^2+bt+c=0 で、特性方程式の解 α、β は

α={-b+√(b^2-4ac)}/2a、 β={-b-√(b^2-4ac)}/2a

2階線形同次微分方程式の一般解 y は、α、β の形により、次の様になる。
(I)α、β が共に相異なる実数解のとき、y=C1*e^αx+C2*e^βx
(II)α、β が α=β で、2重解のとき、y=e^αx(C1*x+C2)
(III)α、β が共役複素解のとき、p=-b/2a、q=√(4ac-b^2)/2a として、y=e^px(C1*cosqx+C2*sinqx) です。

よって、4y"-12y'+9y=0 の特性方程式は、4t^2-12t+9=0 で、
(II)の場合になり、
α=β=3/2、  ∴ 一般解は、y=e^(3/2)x (C1*x+C2) です。

投稿日時 - 2007-10-24 00:03:22

お礼

すごくわかりやすいです。ありがとうございます^^

投稿日時 - 2007-10-24 00:21:32

ANo.1

特性解が1つのときというのは、つまり重解のときではないでしょうか?

投稿日時 - 2007-10-23 23:40:32

お礼

そうでした^^;ありがとうございます。

投稿日時 - 2007-10-24 00:19:55

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