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ローパスフィルタのカットオフ周波数について

こんにちは。
行き詰ってしまったので質問させてください。

2次のローパスフィルタの代表的な回路の「サレンキー型」のカットオフ周波数Fcの求め方を教えてください。
アンプゲインを K 
FcをR1 R3 C2 C4 K を使ってあらわしたいのですが。。。。。。。



    ---------------
     |                 |
     =(C2)              |
     |                 |
     |                 |
ー(R1)-●-(R3)-●--(K)----●-
              |
              =(C4)
              |
              GRAND

図がわかりにくくてすいません。。
よろしくお願いします!

投稿日時 - 2007-10-09 05:16:04

QNo.3413746

困ってます

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回答(4)

ANo.4

参考URLをご覧下さい。
二次のLPFの二次伝達関数は
T(s)=Hωo^2/[s^2+(ωo/Q)s+ωo^2]…(1)
と書けるから
>T(s)=K/ [s^2 C2C4R1R3 + s{C4(R1+R3)+(1-K)C2R1}+1]…(2)
と比較しやすくするため(1)を変形して
T(s)=H/[(s^2/ωo^2)+s/(Qωo)+1]…(1')
(2)と(1')を比較すれば
>ωo = 1 / √(C2C4R1R3)
>Q = {√(C2C4R1R3)} / {C4(R1+R3)+(1-K)C2R1}
の2式が出てきますよ。

なお
(2)式は以下の回路方程式から
T(s)=Vo/Viを求めれば出てきます。

K V3=Vo …(3)
(V2-V3)/R3=V3 sC4 …(4)
{(Vi-V2)/R1+(Vo-V2)sC2}{R3+(1/sC4)}=V2 …(5)
ここで、Viは入力電圧、問題の●の電圧を右からV2,V3,Voとします。

(3)のV3を(4)に代入すると(4)からV2が求まります。
求まったV2を(5)に代入すればViとVoの関係式が出てきます。
そこからVoを求めると
Vo=T(s)Vi
の形の関係式に整理できますので
T(s)=Vo/Vi
が導出できますね。

参考URL:http://www.ice.gunma-ct.ac.jp/~mame/kougi/kairo/filter.pdf

投稿日時 - 2007-10-09 22:01:23

ANo.3

フィルタの伝達関数をω0とQを使って、
G(s)=K/((s/ω0)^2+1/Q*(s/ω0)+1)の形で表せているので、
s->jωと置いて
G(jω)=K/[{1-(ω/ω0)^2}+j{1/Q*(ω/ω0)}]
と各周波数ωで表すことができます。
直流の利得は、G(0)=Kなので、カットオフ周波数ωcでは
|G|=K/√2より
|{1-(ωc/ω0)^2}+j{1/Q*(ωc/ω0)}|=√2
からωcを計算できるかと思います。

余談
このタイプのフィルタでは、K,R1,R3,C2,C4を個別に設定すると計算が大変なので、
K=1,R1=R3=R,C2=αC,C4=C/α
あるいは
R1=R3=R,C2=C4=C
と制限をつけて(独立なパラメータの数を減らして)扱うことが多いよううに思います。(たとえば、前者だと、独立なパラメータはR,C,αの3つ、後者だとR,C,Kのやはり三つ。フィルタの特徴的なパラメータはω0とQの2つなので、これで設計可能(R,Cでω0が、αまたはKでQが設定できるのだったかな))

投稿日時 - 2007-10-09 20:44:53

ANo.2

横から失礼します。

>> カットオフ周波数(wc)でゲインが-3dBになる
> なんでー3なんでしょうか??
定義です。パワー 1/2  → -6dB
     ゲイン 1/√2 → -3dB 

投稿日時 - 2007-10-09 08:40:32

補足

伝達特性が
T(s)=K / s^2 C2C4R1R3 + s[C4(R1+R3)+(1-K)C2R1]+1

ω0 = 1 / √(C2C4R1R3)

Q = √(C2C4R1R3) / C4(R1+R3) + (1-K)C2R1

となるみたいなんですが、この先どう進めたらいいのかわかりません。。。
伝達特性からどうやってカットオフ周波数を求めるのでしょうか?

投稿日時 - 2007-10-09 15:54:25

お礼

ありがとうございます!
基礎知識も全然まだ養っていないもので・・・

今、伝達関数を本を読みながら解いてるんですが、、解けません。。。
お時間があったら解き方の詳細、または回答を教えていただけませんでしょうか?。。。

投稿日時 - 2007-10-09 13:59:59

ANo.1

まず、フィルタの伝達関数G(jw)を計算する。
(二次のLPFなので、K0/{(1-a*w^2)+jbw}のような形になるかと思います。)カットオフ周波数(wc)でゲインが-3dBになる(上記形式で表したときに、分母の絶対値が√2になる)ことを使って、wcを求める。
という手順になるかと思います。

投稿日時 - 2007-10-09 06:05:28

お礼

ありがとうございます!

>カットオフ周波数(wc)でゲインが-3dBになる

なんでー3なんでしょうか??

投稿日時 - 2007-10-09 07:18:01

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