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解決済みの質問

円運動・力のモーメント

(1)等速円運動においては(rベクトル)^2と(vベクトル)^2は一定なのはどうしてですか?
(2)剛体が静止しているときのある点の周りの力のモーメントは0となるのはなぜですか?
(3)太陽の周りの惑星の運動では、GMm/r^2=mrω^2が成り立ちますが,右辺は向心力ですか遠心力ですか?

投稿日時 - 2007-09-13 20:35:32

QNo.3342322

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

(1)
円の方程式は、半径をr、円の中心を(x0,y0)と置いて
(x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2
と表されますよね。

円の中心が(0,0)になるように平行移動すれば、
x^2 + y^2 = r^2
にできます。
これを極座標で書けば
(rx =)x=rsinθ
(ry =)y=rcosθ
rx^2 + ry^2 = x^2 + y^2 = r^2
ですから、rベクトルの2乗は半径rの長さ(一定)ですね。

等速円運動なので、θは時刻tの一次関数です。
そこで、θ=ωt+C (ω、Cは定数)と置けば、dθ/dt = ω なので、
vx = dx/dt = dx/dθ・dθ/dt = rω cosθ
vy = dy/dt = dy/dθ・dθ/dt = -rω sinθ
よって、
v^2 = (rω cosθ)^2 + (-rω sinθ)^2
 =(rω)^2 (= 一定)
v = rω

ちなみに、もう1回tで微分すれば加速度になります。
ax = dvx/dt = dvx/dθ・dθ/dt = -rω^2 sinθ
ay = dvy/dt = dvy/dθ・dθ/dt = -rω^2 cosθ
a^2 = (rω^2)^2 (= 一定)
ですから、向心加速度はrω^2、向心力は、mrω^2 です。

(2)
理由はありません。実際にそうなっているから、後付けで理論や式ができただけのことです。
あるいは、逆に考えてください。
力のモーメント(の合計)がゼロでなければ、その剛体は角加速度のある回転をします。
静止している物体にかかっている力(の合計)がゼロであることが、自然と考えられるのと同じです。

(3)
向心力です。
(遠心力は、向心力と符号が逆で、絶対値が同じです。)
この式は、向心力が2体の質量に比例し(=万有引力)、および、中心からの距離の2乗に反比例することを表した式です。

投稿日時 - 2007-09-14 00:28:12

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 01:25:35

ANo.3

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回答(5)

ANo.5

#3様のように=(等しい)と考えてくれ。
いつも素晴らしいです。

万有引力=向心力
惑星が公転出来る向心力と、万有引力は等しい。

0にされると運動方程式の意味がなくなると思う。

投稿日時 - 2007-09-15 01:05:10

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 01:26:32

ANo.4

すでに回答がいくつもありますので、違った感じのものを。
(1)「等速」だから速さが一定→vの絶対値が一定→v^2 が一定
  「円」だから半径が一定→rの絶対値が一定→r^2 が一定

(3)惑星に固定した座標で考えると「遠心力」。この遠心力が左辺の万有引力とつりあっている。
慣性系で考えると「向心力」。万有引力が向心力となっている。

投稿日時 - 2007-09-14 23:27:45

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 01:26:05

ANo.2

Vx=-rωsin(ωt+α)
Vy=-rωcos(ωt+α)

V^2=Vx^2+Vy^2
V^2=r^2ω^2

a=ax^2+ay^2
a=-ω^2r
なので
F=ma→F=mω^2r 

とうそくえんうんどうは「向心力。」^^;


力のモーメントが「0で」つりあうのはー、
置いてある時。

=で考えてくれ。

投稿日時 - 2007-09-13 21:29:11

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 01:25:05

ANo.1

(1)
等速円運動において、r↑は、大きさがR(一定の半径)、
向きが中心と運動体を結ぶ半径方向のベクトルです。
|r↑|=R なので、|r↑|^2=R^2(一定)
v↑は、一定の大きさV(速さ)で、向きが運動の接線方向のベクトルで、
|v↑|=V なので、|v↑|=V^2(一定)
となります。

(2) ある点の周りの力のモーメントが0でないと、その点の周りに
剛体は回転します。

(3)
左辺は万有引力だから向心力、
右辺は遠心力です。向心力と遠心力がつりあっているという式です。

投稿日時 - 2007-09-13 20:51:19

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 01:24:38

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