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解決済みの質問

ベルンシュタインの定理の証明について(集合論 Wikipedia)

集合の勉強をしているのですが、
ベルンシュタインの定理の証明が分からずに困っています。

参考書として「集合・位相入門 松坂和夫著」を使っているのですが
そこに載っている証明法が理解できず、ネットで調べてみた所、Wikipediaに簡単そうな証明法が出ていたので、とりあえずこちらから理解しよう思ったのですが、こちらもまた理解できずに困っています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86


理解できない箇所は2箇所で、
まず

h(x)=  f(x) xがCの元の時
    g-1(x) xがCの元でない時

の部分で、
f(x)とg-1(x)は同じもののような感じがするのですが、
どこが違うのかということです。

もう1箇所は

g-1(C)=g-1(C/C0)=f(C)

の部分です。

よろしくお願いします。


   

投稿日時 - 2007-07-30 10:05:03

QNo.3211552

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

ご要望にお応えして。

Bの部分集合f(C)は、fによるCの像ですが、
一方、f(C)ってのは、f(c0)∪f(c1)∪f(c2)∪f(c3)∪....ですよね。
また、c1って、g(f(c0))でしたよね。
ってことは、f(c0)=g-1(c1)ですよね。
以下同様に、
f(c1)=g-1(c2)
f(c2)=g-1(c3)...なので、
f(c)=f(c0)∪f(c1)∪f(c2)∪f(c3)∪....=g-1(c1)∪g-1(c2)∪g-1(c3)∪....
    =g-1(C-CO)
となります。


-----

細かい説明は抜きにして、全体のお話をします。

Aの元には、fでBに行ってgで帰ってきたとき、元に戻ってこないヤツが
います。

元に戻らないっていうのは、
x≠g(f(x)) な性質を持つやつです。

元に戻らないヤツらの代表として、g(B)に含まれないヤツがいます。
だって、Bの像に入っていないから、帰ってくるとき元にもどれないんです。
こんな連中の集合がAの部分集合C0です。

次に、C0の元は、fで、Bの中に行きますが、(f(CO)です)この連中の
gでの戻り先は、C0ではないので、C1としましょう。
COとC1に共通部分はありません。gは単射だからです。

さらに次に、C1のfでのBの中の行き先(f(C1)です)は、さっきのf(C0)と
共通な部分はありません。fが単射だからです。
で、この連中のgでの戻り先を考え、これをC2とすると、C2は、C0やC1と
共通部分はありません。gが単射だからです。

以下、このように、Cnを定義してその和集合をCとしました。

ある元xがこのCに含まれるってことは、その作り方から、
g(f(x))⊂Cになります。(具体的には、x∈Cnなら、g(f(x))∈C(n+1))
一方、Cに含まれない元xには、g-1を定義することができ、
(g-1を定義できないのは、C0の元だけだから)
しかも、その行き先は、f(c)にはなりません。

と、以上でhが全単射てな感じです。いかがでしょうか?

投稿日時 - 2007-07-30 19:37:38

お礼

度々丁寧な御回答どうもありがとうございます。

後半部分のご説明はとても分かりやすくて納得できました。

ですがまだ全体として掴みきれません。
少し疲れてきてしまい、頭の回転も悪くなってきてしまいました。

明日リベンジとしてもう一度じっくり考えてみます。

今日は大変丁寧な御回答、どうもありがとうございました。

投稿日時 - 2007-07-30 23:03:51

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

fとgの定義をよく思い出しましょう。そうすれ簡単な勘違いに気づくでしょう。

fは、AからBへの単射、
gは、BからAへの単射 で、それぞれ、単射でありさえすれば「勝手なもの」
でよいわけですね。

だから、決して、g-1=fなんてことは、前提にはなっていませんね。

ポイントは、
C0の元には、g-1が定義できないってことですね。
(C0は、gによるBの像以外の元の集合ですね)
むしろ、g-1が定義できないAの元をC0と置いたというのが真相ですね。

後半の疑問も同じポイントがモトになっているとおもいます。

Cの元のうち、C0の元にはg-1が存在しませんから、Cのg-1の像は、もともとC-C0の元による
像と一致しています。

まえに、新井紀子氏の著書で、このh(x)の構成を、ダンスパーティでのパートナーチェンジ
に喩えて説明してるのを読んだことがあります。

手元にないので勘違いかもしれませんが、多分、
(ブルーバックス 数学にときめく あの日の授業に戻れたら 著者: 新井紀子 編者: ムギ畑)
です。
--------------
この定理は、実際に手を動かしてh(x)を構成すると目からうろこが落ちるように理解できると思います。

たとえば、
A=[0,1)
B=[0,1]
として、
f(x)=x/2
g(x)=x/2 として、実際のh(x)を構成してみるのです。

投稿日時 - 2007-07-30 11:08:06

お礼

丁寧な御解答、どうもありがとうございます。

必ずしもg-1=fでないことが分かりました。

>Cの元のうち、C0の元にはg-1が存在しませんから、Cのg-1の像は、もともとC-C0の元による像と一致しています。

ここら辺もとてもよくわかりました。
ありがとうございます。

あとまだ分からないのは
g-1(C)=g-1(C/C0)=f(C)
の後半部の等号です。

g-1(C)=g-1(C/C0)
の成立は分かったのですが、
後半の
g-1(C/C0)=f(C)の部分と
結果として
g-1(C)=f(C)
が成り立つという部分です。

g-1=fは必ずしも成り立たないのに
この場合は 結果としてg-1(C)=f(C)であることが証明できる。

g-1=fとなる条件がピンと来ず分かりません。

ここらへんをもう少しよろしくお願いします。

投稿日時 - 2007-07-30 15:39:39

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