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解決済みの質問

また確率の話ですが・・

3つ質問があるんですが、できれば中学レベルまでの数学で計算できればその方法と、特殊な記号など用いる場合にはその記号の意味や考え方なども合わせて教えてくれると嬉しいです。

1:1/100で当たる抽選で、100回抽選をして1回以上当たる確率とその計算方法はわかりました(約63%)。では、同じ条件で100回中3回「だけ」当たる確率はいくつになるんでしょうか?
考え方としては、単純に100回中97回はずれを引く確率・・と考えて良いんでしょうか?つまり99/100の97乗?なんだか自信がないような気がします。

2:上記と同じ条件で、100回中1回「だけ」当たる確率の計算方法は?
自分で考えてみると、
99/100^99=約37% これで合ってますか?でもこれだと、100回中1度も当たらない確率(99/100^100)とほとんど数値が変わらないという事になり、おかしいような気もします。
あるいは、
1-(全てはずれの確率+2回以上当たる確率)じゃないかと思うんですが、これだと計算がややこしい気がします。

3:100枚中1枚が当たりのくじ引きで、1回引くごとに残りのくじが減っていく場合に、はじめにくじを引く人の当選確率は1%(1/100)のはずですが、2番目、3番目・・最後に引く人・・の当選確率も、皆一様に1%でしょうか?
計算してみると、
2番目にくじを引く人の当選確率は、99/100×1/99=1/100、おや?
3番目の人の場合は、99/100×98/99×1/98=1/100、まさか!
この考え方でいくと、最後にくじを引く人の当選確率も1/100になります。という事は、くじびき会場で人がたくさん並んでいても、先頭にいようが最後尾にいようが(くじが空っぽにならない限り)当選確率は同じだという事ですよね。ずる込みする奴は、色んな意味でバカだと(笑)これで合ってますか?たくさんあってすみませんが、よろしくお願いします。

投稿日時 - 2007-06-13 02:13:38

QNo.3080207

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

 #5です。
 お礼をありがとう。

>ところで問題2のアドバイスについてなんですが、
>もし問題の確率とくじを引く回数を、確率1/50で100回などと変えれ>ば、1回も当らない確率(=(49/50)^100)と1回しか当らない確率
>(=(1/50)(49/50)^97・100)は違う数字になってきます。
>のココ↑の部分は、(1/50)(49/50)^99・100の間違いじゃないですか?

 ご指摘の通り、誤記です。ごめんなさい。
 質問者さんの式が正しいです。

>それと、もし組み合わせを考慮しないで計算した場合に出る数値は、どんな場合の数なんでしょうか?

 組み合わせを考慮しない場合の組み合わせの数は、1通りですから、その場合の確率は、
  (1/50)(49/50)^99×1=0.00271 (約0.3%)
となります。

>たとえば、1/100^3・99/100^97と計算すると、最初の3回連続であたりを引き、のこり97回連続ではずれた場合の確率になるんでしょうか?この場合、この順序に固定されているんですか?

 そうです。
 1/100^3・99/100^97の確率は、どこで当るかがあらかじめ決められたもので、例えば、質問者さんの最初の3回連続でというのもそうですし、最後の3回連続で、2回目-50回目-72回目 などという当たり方でも同じ確率になるということです。
 ですから、単に3回当る確率を求める場合には、その当たり方が何通りあるかを勘定して、掛け合わせなければならないのです。
 なお、この考え方については、数学でも「組み合わせ」と呼ばれるものですので、さらにお知りになりたいときは、この言葉で検索されるとよいかもしれません。
 下記に1例を張っておきますので、良ければ参考にしてください。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuritu/combi1/combi1.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E3%81%BF%E5%90%88%E3%82%8F%E3%81%9B

投稿日時 - 2007-06-13 19:22:17

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回答(7)

ANo.6

N分の1で当たるくじをN回引くとどうなるか?
計算は簡単ではありません。
実は、Nが10であろうと、100であろうと、1000であろうと、あまり違わないのです。0回あたる確率も、1回当たる確率も、ほとんど36.8%で、これはe(=2.71828...)の逆数です(中学ではちょっとムリかも)。大学の理工系なら「ポアソン分布」として習うでしょう。
最初に研究したのは、オイラーで、N個の封筒にN個の手紙を入れたらどうなるか?と考えました。ポアソンは、馬に蹴られて死ぬ確率を考えた末に、理論を編み出しました。

行列に割り込むとどうなるか?
割り込んだ人も、割り込まれた人も損得はありません。よく「クジを引く順番を決めるクジを引く」ようですが、数学的にはナンセンスです。もっとも、割り込むと、それだけ家に早く帰れるというメリットはありますが。

参考URL:http://okwave.jp/qa3041450.html

投稿日時 - 2007-06-13 15:06:42

ANo.5

1.100回中3回「だけ」当たる確率は、
  (3回当る確率)×(97回外れる確率)×(3回当る組み合わせの数)
で考えます。
 この中で、(3回当る確率)と(97回外れる確率)は、質問者さんはもうご存知だと思いますが、
  (3回当る確率)  =(1/100)^3
  (97回外れる確率)=(1-1/100)^97
となります。

 ところで、(3回当る組み合わせの数)は、100回くじを引く中で何回目に当たりを引くかという場合の数を求めることになります。
 1個目の当たりを引く場合の数は、1番目から100番のうちのどれでもいいですから、100通りあります。
 次に、2回目の当たりを引く場合の数は、既に1回目に当たりを引いた残りの99回のうちのいずれかですから、99通りになります。
 さらに、3回目の当たりを引く場合の数は、前の1回目と2回目で当った順番は除外されますので、98通りになります。
 そこで、これらの場合の3つの数を掛け合わせれば(3回当る組み合わせの数)が求められそうに思いがちですが、ここで一つ注意が必要です。
 この数え方の中には、当る組み合わせの数が重複して勘定されています。例えば、当った回数を順番に次のように書いて見ますと、
 1-5-21、1-21-5、5-1-21、5-21-1、21-1-5、21-5-1
と表すことができますが、これらは実はすべて同じ組み合わせになっています。(当たりくじを何回目に引いたかは、これらのうちの最初の昇順になったものしかありえませんから。)
 そこで、この重複分を計算しますと、3×2×1=6 通り になっていますので、この数を全体の場合の数から割ってやれば、(3回当る組み合わせの数)が求められることになります。

 (3回当る組み合わせの数)=100×99×98÷(3×2×1)=161,700

 以上のことをまとめると、100回中3回「だけ」当たる確率は、次のように求められます。

  (3回当る確率)×(97回外れる確率)×(3回当る組み合わせの数)
 =(1/100)^3×(1-1/100)^97×(100×99×98)/(3×2×1)
 =0.0610 (約6.1%)

2.100回中1回「だけ」当たる確率の計算も、1.項と同じ考えて求めることができて、結果は質問者さんの通りです。

  (1回当る確率)×(99回外れる確率)×(1回当る組み合わせの数)
 =(1/100)^1×(1-1/100)^99×100
 =0.370 (約37.0%)

 ちなみに、(1回当る組み合わせの数)は、1番目から100番目のうち何回目に当るか、その場合の数を数えていますので、ちょうど100通りになることから、上の式のように計算できます。


>99/100^99=約37% これで合ってますか?でもこれだと、100回中1度も当たらない確率(99/100^100)とほとんど数値が変わらないという事になり、おかしいような気もします。

 このケースでは、1回も当らない確率と1回しか当らない確率とがたまたま近い確率になったケースなので、違う事象が同じ確率になることもなくはありません。
 もし問題の確率とくじを引く回数を、確率1/50で100回などと変えれば、1回も当らない確率(=(49/50)^100)と1回しか当らない確率(=(1/50)(49/50)^97・100)は違う数字になってきます。

3.100枚中1枚が当たりのくじ引きで当る確率は、質問者さんの考えどおり、みな同じ確率で 1/100 です。
 計算の仕方も、まさにその通りで結構ですよ。
 ですから、この場合のクジには、引く順番で当る確率が変わったりはしないのです。

投稿日時 - 2007-06-13 04:24:50

お礼

なるほど・・詳しい説明、ありがとうございます。たしかに中学レベルの数学ですが、なかなか複雑なんですね~。1/100の抽選で、100ゲーム中3回当たる確率が約6.1%・・なるほど、たしかに妥当な数値という気がします。

ところで問題2のアドバイスについてなんですが、
>もし問題の確率とくじを引く回数を、確率1/50で100回などと変えれ>ば、1回も当らない確率(=(49/50)^100)と1回しか当らない確率
>(=(1/50)(49/50)^97・100)は違う数字になってきます。
のココ↑の部分は、(1/50)(49/50)^99・100の間違いじゃないですか?
それと、もし組み合わせを考慮しないで計算した場合に出る数値は、どんな場合の数なんでしょうか?
たとえば、1/100^3・99/100^97と計算すると、最初の3回連続であたりを引き、のこり97回連続ではずれた場合の確率になるんでしょうか?この場合、この順序に固定されているんですか?

投稿日時 - 2007-06-13 12:59:34

ANo.4

No3ですが、1と2の答えを間違えてしまいました。
すみませんm(_ _)m
No2さんのおっしゃるとおり組み合わせを考えてみてください。

投稿日時 - 2007-06-13 03:24:22

お礼

ありがとうございます。
なんとなく、組み合わせを考慮する必要があるんじゃないか?という気がしていたんですが、理屈で考えるとイマイチピンときません・・何故この場合、組み合わせが必要になるんでしょうか?逆に、組み合わせを考えなくて良いケースではどんな場合がありますか?

投稿日時 - 2007-06-13 12:44:55

ANo.3

1:97回ハズレを引き、3回当たりを引く確率なので
(99/100)^97×(1/100)^3です。

2:これも1と同様に99回ハズレを引き、1回当たりを引く確率なので
(99/100)^99×(1/100)です。

3:その通りです。全員1/100。

投稿日時 - 2007-06-13 03:18:51

ANo.2

残念ですが、No.1さんの解答もあなたの解答も違います。

1.
99/100の97乗は、97回はずれを引く確率です。
3回当たる場合、さらに1/100の3乗を掛ける必要があります。
そうなると、No.1さんの解答になるかと思いますが、これでは、97回連続ではずれて、その後に3回連続で当たった確率になってしまいます。
100回の内のどこで当たったとかも考慮する必要があります。
数学でいう「組み合わせ」ですね。
ヒントは「100 C 97」

2.
1と同様です。
>1-(全てはずれの確率+2回以上当たる確率)じゃないかと思うんですが、これだと計算がややこしい気がします。
とありますが、このような計算の仕方はベターです。

3.
正解です。
後になった人ほど有利になる気がしますが、当たりが残っている可能性も減ってしまうので、一緒になります。

投稿日時 - 2007-06-13 03:12:13

お礼

ありがとうございます。
なんとなく、組み合わせを考慮する必要があるんじゃないか?という気がしていたんですが、理屈で考えるとイマイチピンときません・・何故この場合、組み合わせが必要になるんでしょうか?逆に、組み合わせを考えなくて良いケースではどんな場合がありますか?

投稿日時 - 2007-06-13 12:44:26

ANo.1

1:(99/100)^97 × (1/100)^3
2:(99/100)^99 × (1/100)^1
3:全員、1/100で正解

投稿日時 - 2007-06-13 02:25:02

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