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空間ベクトルについて

空間の2点をA(-3,1,-2)B(3,―1,1)とし、aベクトルの成分を(-1、-4,4)とする。aベクトルをABベクトルに平行なbベクトルと、ABベクトルに垂直なベクトルcの和に表すとき、bベクトル、cベクトルの成分を求めよ。

問題文から、aベクトル=bベクトル+cベクトル、bベクトル=kABベクトル,ABベクトル・cベクトル=0。aベクトル・ABベクトル=14を求め(bベクトル+cベクトル)・ABベクトル=14からkの値を求めています。(bベクトル+cベクトル)・ABベクトルはどこからでてきているのですか?発想の仕方が良く分かりません。教えてください。お願いします。

投稿日時 - 2007-02-15 13:35:07

QNo.2754586

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回答(2)

ANo.2

問題文のABベクトルとは、点Aから点Bに向かう幾何ベクトル(矢のイメージ)のことだと思います。ABベクトルは以下のようにして求めることができます。

ABベクトル = (点Bの位置ベクトル)- (点Aの位置ベクトル)
= (3, -1, 1) - (-3, 1, -2)
= (3, -1, 1) + (3, -1, 2)
= (6, -2, 3)
ここで、位置ベクトルとは座標の位置を表すベクトルで、
原点O(0, 0, 0)を基準にして、空間の点を指すベクトルのことです。

bベクトルはABベクトルに平行なので、
b = k*AB (1)
と書けます。ここにkはスカラーです。cベクトルですが、
c=(cx, cy, cz) (2)
と書く事にするとABベクトルに垂直なので内積がゼロ、つまり、
c・AB = 0 (3)

ゆえに、
6cx - 2cy - 3cz = 0 (4)
を満たします。

ここで、式(4)の三つの未知数(cx, cy, cz)のいづれか1つを別の2つの未知数で表す事を考えます。本回答では、cxをcy, czで表すことにします。式(4)を移行することにより、
cx = cy/3 - cz/2 (5)
これを式(2)に代入すると
c = (cy/3 - cz/2, cy, cz) (6)
となります。

aベクトルをbベクトルとcベクトルの和で表したときのbベクトルとcベクトルの成分を求めることが目的ですので、
aベクトルの各成分とb+cの各成分を比較して方程式を立て解けばよいことになります。

a = (-1, -4, 4) (7)
b+c = (6k + cy/3 - cz/2, -2k + cy, 3k + cz) (8)
a = b+cより、

6k + cy/3 - cz/2 = -1
-2k + cy = -4
3k + cz = 4

上記の連立方程式を解くことにより、

k = 2/7
cy = -24/7
cz = 22/7
となります。cxは式(5)より
cx = -19/7
となります。よって答えは、
b = (12/7, -4/7, 6/7)
c = (-19/7, -24/7, 22/7)
です。

投稿日時 - 2007-02-15 15:14:56

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-02-22 17:44:24

ANo.1

aベクトル=bベクトル+cベクトル
bベクトル=kABベクトル,
ABベクトル・cベクトル=0。

aベクトル・ABベクトル=14
の式から、何故
(bベクトル+cベクトル)・ABベクトル=14
の式になったか、ですか?

aベクトル=bベクトル+cベクトル
では?

投稿日時 - 2007-02-15 13:51:47

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