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解決済みの質問

電気力線のなす角度

こんにちは。大学1年です。次の問題について質問させて下さい。
「x軸上に2つの正電荷q1、q2があり、x軸とθ1の角度でq1から出た電気力線は無限遠方でx軸とどのような角度をなすか。」
解説には、q1、q2の位置をA,Bとし、電気力線上の1点をPとするとき、PA,PBがABとなす角をφ1、φ2とすると、
q1sin^2(φ1/2)+q2sin^2(φ2/2)=一定なので・・・
とあるのですが、なぜこれが成り立つのかが分からないのです。
どなたか解説をお願いします。

投稿日時 - 2005-11-20 18:36:41

QNo.1790892

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

球の表面積の一部を積分によって求めるには、高校数学の範囲で計算できると思います。以下に、計算の概略だけを簡単に説明しますが、詳しくは、ご自分で図を描きながら考えて下さい。
AからPを円周上の一点とする円板を見込む立体角を計算するには、AP=rとしてAを中心とする円、
x^2 +y^2=r^2 ・・・(1)
を描きます。この円の周の一部分(rcosφ1<=x<=r)をx軸を回転軸として回転させたときの面積が、求めようとする面積です。
この、円の周の一部分の長さをLとすると、
dL=√{1+(y')^2}dx (rcosφ1<=x<=r) ・・(2)
となります。(高校で習う公式です。)
求めようとする球の一部分の面積をSとすると、
dS=2πy×dL ・・・(3)
となります。
(1),(2),(3)より、
S=∫[rcosφ1~r]2πy√{1+(y')^2}dx 
この手の計算は普通、三角関数で置換積分をするのですが、この場合はその必要がなく、直接求められます。続きを書けば、
S=∫[rcosφ1~r]2π√(r^2-x^2)√{r^2/(r^2-x^2)}dx
=2πr[x](rcosφ1~r)=2πr(r-rcosφ1)=2πr^2(1-cosφ1)となります。

Aから円板を見込む立体角をω1とすると、立体角の定義より、
ω1=S/r^2=2π(1-cosφ1)
となります。
以上、概略だけですが、あとは、ご自分で考えて下さい。 

投稿日時 - 2005-11-22 21:29:42

お礼

二度もすみません(><)
もう一度自分で解きなおしてみようと思います。
本当にありがとうございました。

投稿日時 - 2005-11-27 22:28:39

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

これは、一直線上に並んだ点電荷について、同じ電気力線上で、一般的に成り立つ性質です。Pをxを軸に一回転させた円板をAから見込む立体角をω1,Bから見込む立体角をω2とすると、
ω1=2π(1-cosφ1)
ω2=2π(1-cosφ2)
(この計算は、球の表面積の一部を積分によって求めます。)

q1,q2からそれぞれ、q1/ε0 ,q2/ε0本の電気力線が出るので、各電荷から出て、円板を通る電気力線の本数は、それぞれ、
q1ω1/4πε=q1(1-cosφ1)/2ε0
q2ω2/4πε=q2(1-cosφ2)/2ε0

従って、電気力線の合計本数は、
q1(1-cosφ1)/2ε0+q2(1-cosφ2)/2ε0
となり、これは、Pを通る電気力線上で一定です。(Pを通る電気力線上の他の点P’を考えて、上と同じことを考えればよいでしょう。)

従って、
q1(1-cosφ1)/2ε0+q2(1-cosφ2)/2ε0=const
∴q1cosφ1+q2cosφ2=一定
となります。この性質は大切ですから、しっかり覚えておいて下さい。この式から、三角関数の半角公式を使えば、求めようとする式が自然に導かれるはずです。確かめて下さい。
 

投稿日時 - 2005-11-20 23:59:00

補足

ojisan7様、とても丁寧な解説ありがとうございます!
ほとんど理解できたのですが、
なぜ立体角がω1=2π(1-cosφ1)、ω2=2π(1-cosφ2)になるのかが
どうしても分かりません・・・。
「球の表面積の一部を積分によって求める」方法が分かりません。
ここの解説をお願いできますでしょうか・・・?

投稿日時 - 2005-11-21 20:46:51

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