こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

等速円運動の問題です(高校)

学校で配られた実験用のプリントの問題なのですが、

等速円運動する物体の質量m[kg]、周期T[s]、回転半径r[m]、向心力f[N]とすると、
f=mr×(2π/T)の2乗
が成り立つ、という証明がよく分かりません。
解説では、(糸の長さをl[m]、平均の張力をF[N])
『円運動の半径はr=lsinθ[m]であり、円運動の向心力はFsinθ[N]であるから結局 Fsinθ=mlsinθ×(2π/T)の2乗 よってF=ml×(2π/T)の2乗』
と書いてありましたが、『円運動の半径はr=lsinθ[m]』までは分かったのですが、それ以降がよく分かりませんでした。

宜しくお願いします。

投稿日時 - 2005-07-03 13:49:40

QNo.1488820

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

丁寧に書いてみます.そんなの当たり前だよ!ってところは読み飛ばしてください.

円運動の向心力はFsinθ[N]である
>>張力がFですよね.張力というのは,円運動する物体が糸に引っ張られる力です.
ところで,向心力というのは,円の中心に向かう力です.
(この力によって,物体は円運動をするのです.)
つまり,張力Fのうち,水平な成分は絶えず円運動の中心を向いているので,これは向心力になり.その大きさはFsinθ[N]である.

(補足)-----------------------
逆に,張力の地面に垂直な成分は,重力とつり合っていると思います.その大きさは,Fcosθ[N]だから,
Fcosθ = mg
になるはずです.
(補足終わり)-----------------

向心力をK,円運動の半径をrとすると,
K = mrω^2 = mv^2/r   ---(1)
(^2は二乗を表す.)
また,円運動の周期をT,角運動量をωとすると,
T = 2π/ω         ---(2)

ということを物理を学んだ人は知っています.
式(1)(2)をはじめて見た,ここがわからないというのがあれば,さらに説明します.

話を戻すと,
この問いでは向心力はFsinθであるから,式(1)より,
Fsinθ = mrω^2
であり,これに,
式(2)の ω = 2π/T
r = lsinθ
の二つを代入すると
Fsinθ=mlsinθ×(2π/T)^2
となります.
両辺sinθで割って,
F=ml×(2π/T)^2

わからないところがあったらまた聞いてください.

投稿日時 - 2005-07-03 18:42:21

お礼

こんなにご丁寧にありがとうございます!!
おかげで分からなかったところを理解する事が出来ました☆

投稿日時 - 2005-07-03 22:23:08

ANo.3

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(3)

ANo.2

その、プリント(糸の長さ:lと半径:rとがなぜ等しくないのか)よくわかりませんが、
速度vで等速円運動している物体があるとして、
ごく短い時間Δtの時間の間に、角度がθだけ変化した時の速さをvsinθ(極小さい角度だからこれで近似できる)とすると
(vsinθ)/Δt
で単位時間あたりの速さの変化(加速度)を求めることができる。
ところで、
θ=単位時間に移動した距離/r(ラディアン)
であり
Δt=単位時間に移動した距離/v
だから
Δt=rθ/v
これを加速度の式に当てはめると
α=(vsinθ)/(rθ/v)
=vvsinθ/(rθ)
ところで、
v=2πr/T(円周とそれを回るのに要する時間の比)
だから
α={(2πr/T)(2πr/T)/r}{sinθ/θ}
={r(2π/T)(2π/T)}{sinθ/θ}
ココで、θを0に近づけると
{sinθ/θ}は1になるから
α=r(2π/T)(2π/T)
加速度:αと質量:mが解っているときその力fは
f=mαだから
f=mr(2π/T)(2π/T)

投稿日時 - 2005-07-03 16:06:41

お礼

長々とご説明、ありがとうございました!!

投稿日時 - 2005-07-03 22:24:12

ANo.1

こんにちわ。

Fsinθ=mlsinθ×(2π/T)^2 というのは結局、運動方程式です。

Fが張力なのでFsinθは張力の水平成分です。
mは当然、物体の質量です。
問題は加速度aがなぜlsinθ×(2π/T)^2になるかです。
これはω=2π/T=√a/rという等式から導けるでしょう。

投稿日時 - 2005-07-03 15:55:37

お礼

回答ありがとうございました!!

投稿日時 - 2005-07-03 22:23:29

あなたにオススメの質問