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解決済みの質問

円運動の速度

大学で人の動作解析の実験を、モーションキャプチャーを用いて行い、そこからでる時間(0.016秒)ごとのポイント(x.y.z)から、P点の速度(m/s)を求めたいという質問です。実験のイメージとしては、歩いている人の腕の振りを、肩をO点(x1.y1.z1)として肘を(x2.y2.z2)としたときの、肘の速度はどういった流れで求めていけばいいのでしょうか?OとPにはそれぞれ(x.y.z)の座標があり、時間ごとにエクセル上に並んでいます。数学や物理の教科書で調べ、まずω(rad/s)=θ/tを求め、
ν(m/s)=rωでP(肘)の瞬間の速度が出ると思うのでが、
いかがでしょうか。ここでの半径rは2点間の距離、SQRT((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)で求めました。θ=l/rだと思うのですが、l(弧の長さ)は、2πr/tでしょうか?エクセルで計算するのにπは3.14でいいのでしょうか?当方文系だったため、一人でやっていても困惑するばかりです。答えはもちろん早く求めたいのですが、「ここから、こんなことを勉強したほうがいいよ!」みたいなアドバイスでもいいので回答お願いします。      

投稿日時 - 2004-11-13 15:20:57

QNo.1082691

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

> 下の数値は実際の一部です。

ここから肩の角度が出ますよね?
計算方法、座標軸、モデルにより異なりますが、仮にこうします。

時刻[s]  角度[rad]
201.333 -0.946
201.350 -0.894
201.366 -0.850
201.383 -0.809
201.400 -0.767

Excelでグラフを書いて、時刻tと角度θの関係式を求めると、

θ(t) = -6.8926t^2 + 2778.5t - 280021

となります。
tについて微分して、角速度を求めると、

角速度ω(t)= dθ(t)/dt = -13.7852t + 2778.5

となります。


> 微妙にrの長さが変わってしまい

2点を個別に計測すれば、精度によりますが変わるのはむしろ当然です。
質問者さんの作成したい数理モデルに応じて、rの扱いを決めてください。
固定値にすると扱いが簡単なので、r=347.5とすると、


肘の速度v(t)=rω(t)=347.5×(-13.7852t + 2778.5)

など。

--
t=201.366での速度を求めると、

v(201.366)=347.5×(-13.7852×201.366 + 2778.5)
=913.72

一方、No.1の計算方法だと、900.…などの値が計算されますので、まぁ近い式なのではないでしょうか?

投稿日時 - 2004-11-25 11:28:23

お礼

なんとかそれなりの数値が出たと思います。
親切にありがとうございました。

投稿日時 - 2004-11-29 11:25:57

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回答(4)

ANo.3

例えば、Excelで以下のように時刻と角度が得られるとします。

時刻  角度
1.000 -0.654
1.016 -0.604
1.032 -0.552
1.048 -0.497
1.064 -0.441
1.080 -0.382
1.096 -0.323
1.112 -0.261
1.128 -0.199

この範囲を選択し、[挿入]-[グラフ]、散布図で「データポイントを平滑線でつないだ散布図」グラフを作成します。
グラフの線を右クリック-[近似曲線の追加]で多項式近似を選択、オプションで「グラフに数式を表示する」を行います。

これで表示される式が多項式モデルでの時刻x-角度yの式になります。

--
次数3だとこのような式になりますので、

y = -8.8367x3 + 31.69x2 - 33.834x + 10.326 …(1)

xについて微分すると、

y'= -26.5101x2 + 63.38x - 33.834 …(2)

というのが角速度の式になります。
肘の速度は、rωで良いので、上腕の長さが30cmとかならば、

肘速度=0.3[m]*y'(t)

で計算できるハズです。

…と、手元で検算しようとしたら全然違ってます。どこかで大ポカやっているかも。

投稿日時 - 2004-11-15 19:29:28

お礼

ありがとうございます。自分でもさらにいろいろやってるのですが、気が付くと進展していません。下の数値は実際の一部です。式などを含めてやってみて頂けないでしょうか。小数点は多少切り捨てています。モーションキャプチャーのポイントだと、微妙にrの長さが変わってしまい教科書の通りに出来ません。是非お願いします。
時刻   肘と肩r    肘x   肘y     肘z
201.333  350.1   -964.6   -587.3   927.0
201.35   349.3   -978.7   -592.5   938.9
201.366  347.1   -990.2   -595.6   950.3
201.383  345.5   -1000.   -598.1   961.8
201.4    345.1   -1011.5 -600.7   973.4

肩x   肩y   肩z
-830.9  -432.2   1211.1
-830.7  -431.3  1211.3
-830.7  -431.0  1211.1
-830.3  -430.8  1211.5
-830.5  -430.6  1212.9

投稿日時 - 2004-11-20 18:45:42

ANo.2

> ここで言う速度って、0.016秒が単位時間で0.01mが移動距離なので、答えの0.625[m/s]は平均の速度になりますよね?
> 出したいのは瞬間の速度なんです。

0.016秒の間って、普通に扱う分には「瞬間」として問題ない場合が多いハズです。


> 角速度を使わないといけないと言われてしまい

個人的には、いけない事も無いと思うんですが…。

--
そういう手順ですと、

1) 肩、肘の座標から、各時刻に対する肩の角度を求める。
 →3次元ベクトルのなす角、余弦定理、ベクトルの内積
2) 上をグラフにするなどして、時刻と肩の角度の関数を作る。
 →近似関数、モデル化、Excelグラフの近似曲線の追加機能
3) 上の関数を時間で微分して、肩の角速度の関数を作る。
 →微分
4) 角速度から肩の位置に対する肘の速度を求める。
 →rω

という計算で、

> dはなんですか?

d/dtは微分を表します。
ds/dtだと、tの関数s(t)をtについて微分するという事です。

投稿日時 - 2004-11-15 12:04:46

補足

>→3次元ベクトルのなす角、余弦定理、ベクトルの内積
というのはわかりますが、てっきり1)~4)にいけるのかと思ってました。そこで大変レベルが低くて申し訳ないのですが、2)と3)を分かりやすく説明して頂けないでしょうか?例とかを載せてもらえると助かります。お願いします。

投稿日時 - 2004-11-15 16:40:54

ANo.1

> P点の速度(m/s)を求めたいという質問です。
> P(肘)
> 肘を(x2.y2.z2)とした
> OとPにはそれぞれ(x.y.z)の座標があり、時間ごとにエクセル上に並んでいます。

モーションキャプチャの装置から見たP点の速度は、エクセルに並んでいる数値の増減から判断できるのでは?
例えば、0.016秒に0.01m動くならば、速度[m/s]は
0.01[m]÷0.016[s]=0.625[m/s]
と簡単に計算できると思います。

(モーションキャプチャの装置の座標系で)肩から見た肘の速度でも、肘xyz-肩xyzで求まりますし。

投稿日時 - 2004-11-13 16:41:11

補足

ありがとうございます。ただここで言う速度って、0.016秒が単位時間で0.01mが移動距離なので、答えの0.625[m/s]は平均の速度になりますよね?出したいのは瞬間の速度なんです。このやり方だとたぶん教科書には[v=ds/dt]で瞬間の速度書かれていて、私はこれで良いと思うのですが、角速度を使わないといけないと言われてしまい困っています。ちなみに[v=ds/dt]の場合だとどのように計算していったらよいか、わかりますか?dはなんですか?

投稿日時 - 2004-11-15 01:16:23

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